莫队算法-小Z的袜子

小Z的妹子袜子这道题用的是莫队算法，据说解决离线区间询问几乎无敌。

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

对于一个区间l，r，如果其中有v种颜色，$f[v_i]$表示第i种颜色，有多少个袜子。那么l，r的概率就是：

$\LARGE\frac{\sum_{i=1}^{v}C_2^{f_i}}{C_2^{r-l+1}}=\frac{\sum_{i=1}^vf_i^2-\sum_{i=1}^{v}f_i}{C_2^{r-l+1}}=\frac{\sum_{i=1}^{v}f_i^2-(r-l+1)}{2C_2^{r-l+1}}$

，我们发现，除了$\sum_{i=1}^{v}f_i^2$，其它都可以方便求出。那么怎么求这个各个颜色的袜子数目的平方和呢？

　　对于区间l，r，如果询问是l，r+1，我们发现$S_现=S_原-f_x^2+(f_x+1)^2=S_原+2f_x+1$。我们只需加上$2f_x+1$即可。这启发我们遇到一个新询问区间，都可以通过一个个加过来解决。只需维护l，r两个指针即可。

　　但是，对于随机数据，这样的做法显然是$n^2$的。于是就有一个神奇的莫队算法：把所有查询都根据左端点的pos分块，然后排序。如果左端点位于同一个块，就按照右端点排序，然后l，r再移动，复杂度就变成了$n\sqrt{n}$。。

　　为什么呢？因为左端点在一个块时，右端点最多移动$\sqrt{n}$次，而左端点最多跳$\sqrt{n}*\sqrt{n}$次，而有$\sqrt{n}$个这样的块，这样左端点时间复杂度比右端点大，所以在一个块中的时间复杂度是n，乘上有$\sqrt{n}$个块，就是$O(n\sqrt{n})$。而一共有$\sqrt{n}$次左端点跨越块，右端点每次这样移动n，左端点每次移动$\sqrt{n}$，也就是说右端点时间复杂度更大，同样时间复杂度也是$O(n\sqrt{n})$。

 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 
 typedef long long LL;
 const int maxn=5e4+;
 int n, m, l=, r, ans;
 int color[maxn], f[maxn];
 
 LL gcd(LL x, LL y){ return y?gcd(y, x%y):x; }
 
 struct query{
     int l, r, pos;
     //又双叒叕忘记LL了
     int id; LL ans;
 }q[maxn];
 
 bool cmp_md(query a, query b){
     return a.pos!=b.pos?a.pos<b.pos:a.r<b.r; }
 bool cmp_id(query a, query b){
     return a.id<b.id; }
 
 void modify(int now, int shift){
     //别忘记+1!
     ans+=*shift*f[color[now]]+;
     f[color[now]]+=shift;
 }
 
 int main(){
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for (int i=; i<=n; ++i) scanf("%d", &color[i]);
     int sqrtn=sqrt(double(n));
     for (int i=; i<m; ++i){
         scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r);
         q[i].pos=q[i].l/sqrtn; q[i].id=i;
     }
     sort(q, q+m, cmp_md);
     for (int i=; i<m; ++i){
         //这里要是反过来的!
         //注意拓展和删除的区别..
         if (q[i].l<l) for (; l!=q[i].l; --l) modify(l-, );
         if (q[i].l>l) for (; l!=q[i].l; ++l) modify(l, -);
         if (q[i].r>r) for (; r!=q[i].r; ++r) modify(r+, );
         if (q[i].r<r) for (; r!=q[i].r; --r) modify(r, -);
         q[i].ans=ans;
     }
     sort(q, q+m, cmp_id);
     LL x, y;
     for (int i=; i<m; ++i){
         x=q[i].ans-(q[i].r-q[i].l+);
         LL t=q[i].r-q[i].l+;
         y=t*(t-);
         int g=gcd(x, y);
         x/=g, y/=g;
         printf("%lld/%lld\n", x, y);
     }
     return ;
 }