◇例题·II◇ Berland and the Shortest Paths

题目来源:Codeforce 1005F +传送门+


◆ 简单题意

给定一个n个点、m条边的无向图。保证图是连通的,且m≥n-1。

以首都(1节点)为根节点生成最小树。树的值定义为每个节点的深度和(根节点深度0)。举个例子:

而我们知道,可能有多种情况使树的权值最小,题目给出了一个整数k,如果最小树的生成方案数为ans,当 ans≤k 时,将 ans 种方案全部输出;当 ans>k 时,任意输出 k 种不同生成方案即可。输出方案格式为一个01串,第i个字符如果为0,表示不选第i条边(按照输入顺序),1为选择第i条边。


◆ 解析

其实点 i 的深度 dep[i] 就是根节点1到 i 的路径,而我们知道 1 到 i 没有任何一条路径短于它们的最短路径,所以生成树的权值最小时,根节点到每个点的距离就是原图中根节点到每个节点的最短路径。也就是说,我们生成的最小树就是一个最短路径树。然而显然有时候存在多条最短路径,这也就造成了我们生成的最小树有多种解。于是我们假装生成一棵树,实际上只是生成一个图。

由于这道题的边权都是等价的(不如就把边权看成1吧),我们可以用BFS直接求得最短路,所以说其实这也是一个BFS序图。为了考虑每种情况,我们把所有最小的BFS序边连上。下面再举一个生成BFS序图的例子(希望入门reader可以理解):

这样我们就生成了一个BFS序有根图,由于我们要生成树,而树的每一个节点的父节点少于一个。在上图中,4的父节点有两个,因此需要断开一条边——两条边是等价的,断掉任意一条即可。

我们可以把 u→v 的边存入v的边集 min_edg[v] ,那么最小权值树则是对于每一个除根节点之外的 v,选择 min_edg[v] 中的任意一条边,所以方案总数为 (除去根节点 i:2~n)min_edg[v]的边数之积。最后再DFS递归求方案即可(具体见代码)。


◆ 源代码

 /*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=int(2e5);
const int INF=int(1e9);
int n_pnt,n_edg,k;
int dis[MAXN+];
vector<pair<int,int> > lnk[MAXN+];
vector<pair<int,int> > min_edg[MAXN+];
void BFS(int start)
{
fill(dis,dis+MAXN+,INF);
dis[start]=;
queue<int> que;
que.push(start);
while(!que.empty())
{
int u=que.front();que.pop();
for(int i=;i<lnk[u].size();i++)
{
int v=lnk[u][i].first,id=lnk[u][i].second,Stp=dis[u]+;
if(Stp>dis[v]) continue;
min_edg[v].push_back(make_pair(u,id));
if(Stp!=dis[v])
dis[v]=Stp,que.push(v);
}
}
}
bool chose[MAXN+];int cnt;
void DFS(int v)
{
if(v==n_pnt+)
{
cnt++;
for(int i=;i<=n_edg;i++)
printf("%d",chose[i]);
printf("\n");
return;
}
for(int i=;i<min_edg[v].size();i++)
{
chose[min_edg[v][i].second]=true;
DFS(v+);
chose[min_edg[v][i].second]=false;
if(cnt==k) return;
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n_pnt,&n_edg,&k);
for(int i=,u,v;i<n_edg;i++)
scanf("%d%d",&u,&v),
lnk[u].push_back(make_pair(v,i+)),
lnk[v].push_back(make_pair(u,i+));
BFS();
long long ans=;
for(int i=;i<=n_pnt;i++)
{
ans*=min_edg[i].size();
if(ans>k) break;
}
printf("%lld\n",min(k*1ll,ans));
DFS();
return ;
}

The End

Thanks for reading!

- Lucky_Glass

(Tab:如果我有没讲清楚的地方可以直接在邮箱lucky_glass@foxmail.com email我,在周末我会尽量解答并完善博客~)

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