洛谷T8116 密码

T8116 密码

题目描述

YJC把核弹发射密码忘掉了……其实是密码被加密了，但是YJC不会解密。密码由n个数字组成，第i个数字被加密成了如下形式：第k小的满足(2^L)|(P-1)且P为质数的P。YJC希望你能帮他算出密码是多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数n，表示密码中的数字个数。

接下来n行每行两个整数L和k，表示一个数字的加密形式。

注意，输入格式变更，请注意L和k的先后顺序

输出格式：

输出n行，第i行一个整数，表示第i个数字。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

1998585857

998244353

说明

对于50%的数据，满足18≤n,L≤1000。

对于100%的数据，满足12≤n,L≤500000，保证答案<2^31。

又是一道比赛写挂的题发现自己比赛码代码很弱啊这样可不行啊QAQ

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讲一下这道题怎么写吧首先我们并不需要找出1——2^31-1中的全部素数

因为我们发现我们需要的只是满足k*2^12+1的数就好了所以我们可以在等差数列上筛质数

先弄出sqrt(末项)以内的质数（为什么只要到sqrt这个很好证明吧）对每个质数，求出在等差数列上第一个整除位置，以及第二个然后依次处理

那么要怎么做到在等差数列上筛呢

那么我们的目标是找出质数p，求哪些a满足(4096a+1)%p==0对吧

4096a+1)%p==0
设4096a+1==kp
则(kp-1)%4096==0
即kp==1(mod 4096)
即k==p^(-1) (mod 4096)
于是k是(p模4096的逆元)+4096t，t为整数
为了4096a+1最小，直接取逆元
有了最小解，又gcd(p,4096)==1

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这里证明一下gcd(p,4096)==1

4096x+1=pk
pk-4096x=1
当gcd(p,4096)==1时有解

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所以次小解=最小解+4096*p，以此类推然后就能筛完辣

剩下的都是满足（p-1）%2^12==0的辣

然后在2^12次方的基础上就能推出剩下的13——31的答案了

然后讲一下一些细节吧

qmod(i,2047,4096)这里是求质数i的逆元 qmod是快速幂取最小正数解

至于为什么是i^2017%4096是因为

a^(-1)%b == a^(phi(p)-1)%p

而phi(4096)-1=2047

ed[i]表示4096*i+1是否已经被筛掉了这里ed数组要开起码mx

至于mx怎么来的 2^31/2^12就是辣

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<ctime>

#define un unsigned int

using namespace std;

const int mx=;

un read(){

    int ans=,f=,c=getchar();

    while(c<''||c>''){if(c=='-') f=-; c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){ans=ans*+(c-''); c=getchar();}

    return ans*f;

}

un n,k,l;

un cnt[],num[][];

un w[],f[],ed[];

un qmod(int a,int b,int c){

    un ans=;

    while(b){

        if(b&) ans=ans*a%c;

        b>>=; a=a*a%c;

    }

    return ans;

}

void prepare(){

    w[]=; for(un i=;i<=;i++) w[i]=w[i-]*;

    for(un i=;i<=;i++) if(!f[i]){

        for(un j=i*;j<=;j+=i) f[j]=;

        if(i==) continue;

        if(i%==) num[][++cnt[]]=i;

        for(un x=i*qmod(i,,)/;x<mx;x+=i) ed[x]=;

    }

    for(int i=;i<mx;++i) if(!ed[i]) num[][++cnt[]]=i*+;

    for(un k=;k<=;k++)

     for(un i=;i<=cnt[];i++)

      if((num[][i]-)%w[k]==) num[k][++cnt[k]]=num[][i];

}

int main()

{

    prepare();

    n=read();

    for(un i=;i<=n;i++){

        l=read(); k=read();

        printf("%d\n",num[l][k]);

    }

    return ;

}