数据结构（C实现）------- 最小生成树之Prim算法

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算法描写叙述

　　假设连通图是一个网，则称该网中全部生成树中权值总和最小的生成树为最小生成树，也称最小代价生成树。利用Prim算法构造的最小生成树方法思想：

　　如果G=(V,E)是一个具有n个顶点的连通网，顶点集V={v1,v2,...,vn}.设所求的最小生成树T=(U,TE),当中U是T的顶点集。TE是T的边集。U和TE初值均为空集。

　　Prim算法的基本思想例如以下：首先从V中任取一个顶点(假定取v1),将生成树T置为仅有一个结点v1的树。即U={v1};然后仅仅要U是V的真子集，就在全部那些一个端点在T中。还有一个端点在T外的边中。找一条最短（即权值最小 )的边。假定符合条件的最短边为(vi,vj),则把该条边和其不在T中的顶点vj，分别并入T的边集TE和顶点集U。

如此进行下去，每次往生成树里并入一个顶点和一条边，直到把全部顶点都包含进生成树T为止。

此时。必有U=V，TE中有n-1条边。则T=(U,TE)是G的一棵最小生成树。

算法实现

　　设一个edge数组。记录从顶点Ｕ集到Ｖ－Ｕ的代价最小的边。每条边的信息包含边的始点和，终点和权值。

从顶点u出发，利用prim算法求最小生成树过程例如以下：

　　(1) 初始化edge数组。记录顶点u到图中其余结点的代价最小的n-1的边。

　　(2) 将顶点u增加Ｕ中。

　　(3) 当U不等于V时，做例如以下处理。

　　　　1) 从edge数组中选一条代价最小的边。

　　　　2) 将该边的终点增加U中。

　　　　3) 调整edges数组，使它始终记录顶点U到V-U的代价最小的边。

算法代码

// 定义边结构体
typedef struct{
	int start;
	int end;
	int cost;
}Edge;

/*
 *Prim算法求最小生成树
 * */
void Prim_MG(MGraph MG,char vs){
	Edge edge[MAX_VEX_NUM];
	int i,j,k,v,min;
	int s = getIndexOfVexs(vs,&MG);
	//初始化边
	for(i = 1;i <= MG.vexnum;i++){
		if(s != i){
			edge[i].start = s;
			edge[i].end = i;
			edge[i].cost = MG.arcs[s][i];

		}
	}
	//首先将s增加生成树集合中
	edge[s].cost = 0;
	for(i = 2;i <= MG.vexnum;i++){
		min = 1000;
		for(j = 1;j<= MG.vexnum;j++){
			if(edge[j].cost != 0 && edge[j].cost < min ){
				min = edge[j].cost;
				k = j;
			}
		}
		v = edge[k].end;
		edge[v].cost = 0; // 增加新节点

		//输出生成树中的边
	 	printf("%c %c %d\n",MG.vexs[edge[v].start],MG.vexs[edge[v].end],MG.arcs[edge[v].start][edge[v].end]);

		//又一次调整数组
		for(j = 1;j <= MG.vexnum;j++){
			if(edge[j].cost != 0 && MG.arcs[v][j] != 0 && MG.arcs[v][j] < edge[j].cost){
				edge[j].start = k;
				edge[j].end = j;
				edge[j].cost = MG.arcs[v][j];
			}
		}
	}

}

算法说明

　　如果图中有n个顶点，则第一个进行初始化的循环语句的频度为n,第二个循环语句频度为n-1。当中有两个内循环；其一是在edge数组中找权值最小的边。其频度为n-1,其二是又一次调整edge数组的边，频度为n,所以Prim算法的时间复杂度为O(n^2)，而与图中的边数无关，因此适用于求稠密的最小生成树。

完整代码

/*
 * =====================================================================================
 *
 *       Filename:  Prim.c
 *
 *    Description:  最小生成树算法之Prim算法
 *
 *        Version:  1.0
 *        Created:  2015年03月11日 15时27分19秒
 *       Revision:  none
 *       Compiler:  gcc
 *
 *         Author:  jesson20121020 (), 997287955@qq.com
 *   Organization:
 *
 * =====================================================================================
 */

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VEX_NUM 50
#define UN_REACH 1000

typedef char VertexType;
typedef enum {
	DG, UDG
} GraphType;
typedef struct {
	VertexType vexs[MAX_VEX_NUM];
	int arcs[MAX_VEX_NUM][MAX_VEX_NUM];
	int vexnum, arcnum;
	GraphType type;
} MGraph;

/**
 * 依据名称得到指定顶点在顶点集合中的下标
 * vex  顶点
 * return 假设找到，则返回下标，否则，返回０
 */
int getIndexOfVexs(char vex, MGraph *MG) {
	int i;
	for (i = 1; i <= MG->vexnum; i++) {
		if (MG->vexs[i] == vex) {
			return i;
		}
	}
	return 0;
}

/**
 * 创建邻接矩阵
 */
void create_MG(MGraph *MG) {
	int i, j, k,weight;
	int v1, v2, type;
	char c1, c2;
	printf("Please input graph type DG(0) or UDG(1) :");
	scanf("%d", &type);
	if (type == 0)
		MG->type = DG;
	else if (type == 1)
		MG->type = UDG;
	else {
		printf("Please input correct graph type DG(0) or UDG(1)!");
		return;
	}

	printf("Please input vexmun : ");
	scanf("%d", &MG->vexnum);
	printf("Please input arcnum : ");
	scanf("%d", &MG->arcnum);
	getchar();
	for (i = 1; i <= MG->vexnum; i++) {
		printf("Please input %dth vex(char):", i);
		scanf("%c", &MG->vexs[i]);
		getchar();
	}

	//初始化邻接矩阵
	for (i = 1; i <= MG->vexnum; i++) {
		for (j = 1; j <= MG->vexnum; j++) {
			if(i == j)
				MG->arcs[i][j] = 0;
			else
				MG->arcs[i][j] = UN_REACH;
		}
	}

	//输入边的信息，建立邻接矩阵
	for (k = 1; k <= MG->arcnum; k++) {
		printf("Please input %dth arc v1(char) v2(char) weight(int): ", k);

		scanf("%c %c %d", &c1, &c2,&weight);
		v1 = getIndexOfVexs(c1, MG);
		v2 = getIndexOfVexs(c2, MG);
		if (MG->type == 1)
			MG->arcs[v1][v2] = MG->arcs[v2][v1] = weight;
		else
			MG->arcs[v1][v2] = weight;
		getchar();
	}

}
/**
 * 打印邻接矩阵和顶点信息
 */
void print_MG(MGraph MG) {
	int i, j;
	if(MG.type == DG){
		printf("Graph type: Direct graph\n");
	}
	else{
		printf("Graph type: Undirect graph\n");
	}

	printf("Graph vertex number: %d\n",MG.vexnum);
	printf("Graph arc number: %d\n",MG.arcnum);

	printf("Vertex set:\n ");
	for (i = 1; i <= MG.vexnum; i++)
		printf("%c\t", MG.vexs[i]);
	printf("\nAdjacency Matrix:\n");

	for (i = 1; i <= MG.vexnum; i++) {
		j = 1;
		for (; j < MG.vexnum; j++) {
			printf("%d\t", MG.arcs[i][j]);
		}
		printf("%d\n", MG.arcs[i][j]);
	}
}

// 定义边结构体
typedef struct{
	int start;
	int end;
	int cost;
}Edge;

/*
 *Prim算法求最小生成树
 * */
void Prim_MG(MGraph MG,char vs){
	Edge edge[MAX_VEX_NUM];
	int i,j,k,v,min;
	int s = getIndexOfVexs(vs,&MG);
	//初始化边
	for(i = 1;i <= MG.vexnum;i++){
		if(s != i){
			edge[i].start = s;
			edge[i].end = i;
			edge[i].cost = MG.arcs[s][i];

		}
	}
	//首先将s增加生成树集合中
	edge[s].cost = 0;
	for(i = 2;i <= MG.vexnum;i++){
		min = 1000;
		for(j = 1;j<= MG.vexnum;j++){
			if(edge[j].cost != 0 && edge[j].cost < min ){
				min = edge[j].cost;
				k = j;
			}
		}
		v = edge[k].end;
		edge[v].cost = 0; // 增加新节点

		//输出生成树中的边
	 	printf("%c %c %d\n",MG.vexs[edge[v].start],MG.vexs[edge[v].end],MG.arcs[edge[v].start][edge[v].end]);

		//又一次调整数组
		for(j = 1;j <= MG.vexnum;j++){
			if(edge[j].cost != 0 && MG.arcs[v][j] != 0 && MG.arcs[v][j] < edge[j].cost){
				edge[j].start = k;
				edge[j].end = j;
				edge[j].cost = MG.arcs[v][j];
			}
		}
	}

}

/**
 * 主函数
 */
int main(void) {
	MGraph MG;
	char startVex;
	create_MG(&MG);
	print_MG(MG);

	printf("\nPlease input the start vex(char):");
	scanf("%c",&startVex);
	printf("\nThe result of Prim:\n");
	Prim_MG(MG,startVex);	

	return EXIT_SUCCESS;
}

执行演示

jesson@jesson-HP:~/develop/workspace/c_learning/csdn/Prim$ gcc -o Prim Prim.c
jesson@jesson-HP:~/develop/workspace/c_learning/csdn/Prim$ ./Prim
Please input graph type DG(0) or UDG(1) :1
Please input vexmun : 4
Please input arcnum : 5
Please input 1th vex(char):a
Please input 2th vex(char):b
Please input 3th vex(char):c
Please input 4th vex(char):d
Please input 1th arc v1(char) v2(char) weight(int): a b 1
Please input 2th arc v1(char) v2(char) weight(int): a c 3
Please input 3th arc v1(char) v2(char) weight(int): a d 4
Please input 4th arc v1(char) v2(char) weight(int): b c 2
Please input 5th arc v1(char) v2(char) weight(int): c d 3

Please input the start vex(char):a

The result of Prim:
a b 1
b c 2
c d 3