bzoj3672/luogu2305 购票 (运用点分治思想的树上cdq分治+斜率优化dp)

我们都做过一道题（？）货币兑换，是用cdq分治来解决不单调的斜率优化

现在它放到了树上..

总之先写下来dp方程，$f[i]=min\{f[j]+(dis[i]-dis[j])*p[i]+q[i]\} ,j是i的祖先,dis[i]-dis[j]<=l[i]$ ，其中dis[i]表示1号点到i号点的距离

可以很明显的看出斜率优化，但我们要放到树上做

于是就运用点分治的思想来找重心（正如普通的cdq是找中点一样）

步骤是这样的：

1.对于根为x的一个子树，我们先找到它的重心rt

2.把rt的子树刨掉，但留下rt，然后递归地再做x，目的是先算出祖先们的答案，为更新孩子们做准备

3.把rt在子树x中的祖先按深度排序，把rt的子树（不包括rt）按照它们最远能到的祖先的深度排序，然后一边插祖先维护一个凸包，一边给孩子统计答案

4.递归地做rt的子节点

斜率优化的细节就不写了（因为全是蒙出来的）

 #include<bits/stdc++.h>
 #define pa pair<int,int>
 #define ll long long
 using namespace std;
 const int maxn=2e5+,inf=0x3f3f3f3f;
 
 inline ll rd(){
     ll x=;char c=getchar();int neg=;
     while(c<''||c>''){if(c=='-') neg=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<='') x=x*+c-'',c=getchar();
     return x*neg;
 }
 
 struct Edge{
     int b,ne;ll l;
 }eg[maxn*];
 int fa[maxn][],egh[maxn],ect;
 int N,NN,dep[maxn],ldep[maxn];
 int siz[maxn],root;
 int cnt[maxn],tmpl[maxn],tmpr[maxn],pct;
 int stk[maxn];
 ll dp[maxn],dis[maxn],p[maxn],q[maxn],l[maxn];
 bool vis[maxn];
 
 void dfs1(int x){
     int i;
     for(i=;fa[x][i-]&&fa[fa[x][i-]][i-];i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-]][i-];
     int y=x;for(ll j=l[x];i>=;i--){
         if(fa[y][i]&&dis[y]-dis[fa[y][i]]<=j)
             j-=dis[y]-dis[fa[y][i]],y=fa[y][i];
     }
     if(y!=x) ldep[x]=dep[y];
     else ldep[x]=-;
 
     for(i=egh[x];i;i=eg[i].ne){
         int b=eg[i].b;
         dis[b]=dis[x]+eg[i].l;
         dep[b]=dep[x]+;
         dfs1(b);
     }
 }
 
 void getroot(int x,int smsiz,int &ms,int &root){
     siz[x]=;int mm=;
     for(int i=egh[x];i;i=eg[i].ne){
         int b=eg[i].b;if(vis[b]) continue;
         getroot(b,smsiz,ms,root);siz[x]+=siz[b];
         mm=max(mm,siz[b]);
     }mm=max(mm,smsiz-siz[x]);
     if(mm<=ms) ms=mm,root=x;
 }
 void getson(int x){
     tmpr[++pct]=x;
     for(int i=egh[x];i;i=eg[i].ne){
         int b=eg[i].b;if(vis[b]) continue;
         getson(b);
     }
 }
 
 inline bool cmp(int a,int b){
     return ldep[a]>ldep[b];
 }
 
 inline double getk(int a,int b){
     return (double)(dp[a]-dp[b])/(dis[a]-dis[b]);
 }
 
 void cdq(int x,int s){
     if(s<=) return;
     int rt,ms=inf;
     getroot(x,s,ms,rt);
     if(x!=rt){
         int sms=s,mmm=inf;
         for(int i=egh[rt];i;i=eg[i].ne) vis[eg[i].b]=,sms-=siz[eg[i].b];
         cdq(x,sms);
     }int l=;
     for(int i=rt;i!=fa[x][];i=fa[i][]) tmpl[++l]=i;
     pct=;
     for(int i=egh[rt];i;i=eg[i].ne) getson(eg[i].b);
     sort(tmpr+,tmpr+pct+,cmp);
 
     int sh=;
     for(int i=,j=;i<=pct&&ldep[tmpr[i]]!=-;i++){
         for(;j<=l&&dep[tmpl[j]]>=ldep[tmpr[i]];j++){
             while(sh>&&getk(stk[sh],stk[sh-])<=getk(stk[sh],tmpl[j])) --sh;
             stk[++sh]=tmpl[j];
         }
         if(sh){
             int k=stk[];
             if(sh!=){
                 int a=,b=sh-;
                 while(a<=b){
                     int m=(a+b)>>;
                     if(getk(stk[m],stk[m+])<=p[tmpr[i]]) k=stk[m],b=m-;
                     else k=stk[m+],a=m+;
                 }
             }
             dp[tmpr[i]]=min(dp[tmpr[i]],dp[k]+(dis[tmpr[i]]-dis[k])*p[tmpr[i]]+q[tmpr[i]]);
         }
     }
     for(int i=egh[rt];i;i=eg[i].ne){
         cdq(eg[i].b,siz[eg[i].b]);
     }
 }
 
 inline void adeg(int a,int b,int l){
     eg[++ect].b=b;eg[ect].l=l;eg[ect].ne=egh[a];egh[a]=ect;
 }
 
 int main(){
     int i,j,k;
     N=rd();rd();
     for(i=;i<=N;i++){
         int a=rd(),b=rd();p[i]=rd(),q[i]=rd(),l[i]=rd();
         adeg(a,i,b);fa[i][]=a;
     }ldep[]=-;dep[]=;dfs1();
     memset(dp,,sizeof(dp));dp[]=;
     cdq(,N);
     for(i=;i<=N;i++) printf("%lld\n",dp[i]);
     return ;
 }