P3845 [TJOI2007]球赛

简要题意

\(T\) 组数据，每一组数据给出 \(n\) 个数对 \((a,b)\)。你需要将其分为几组，使得组单调不降。求最小组数。

思路

模拟赛考的题。

先来介绍 Dilworth 定理：

对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。

这个定理似乎可以运用到这道题！

如果这样子，本题就被转换成了求最长下降子序列，可以 \(O(n\log n)\) 求。

最后讲一下如何求最长下降子序列，我们可以钦定 \((a,b)\) 中 \(a>b\)。然后按照 \(a,b\) 双关键字排序后 二分优化 DP 求最长下降子序列即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

bool flag=0;
const int N = 100005;

struct couple{
	int a,b;
	bool operator<(const couple &x) const {
		bool ret=a==x.a?b<x.b:a<x.a;
		if(flag)return !ret;
		else return ret;
	}
} p[N];

int f[N];
int n,t,tot;

signed main(){
// 	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
// 	freopen("line.in","r",stdin);freopen("line.out","w",stdout);
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%lld-%lld",&p[i].a,&p[i].b);
			if(p[i].a>p[i].b)swap(p[i].a,p[i].b);
		}
		sort(p+1,p+n+1);
		f[1]=p[1].b;
		tot=1;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			if(f[tot]>p[i].b){
				f[++tot]=p[i].b;
			}
			else{
				f[lower_bound(f+1,f+tot+1,p[i].b,greater<int>())-f]=p[i].b;
			}
		}
		cout<<tot<<'\n';
	}
	return 0;
}