0016：单源最短路径（dijkstra算法）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4779

题目描述：给定一个 n 个点，m 条有向边的带非负权图，计算从 s 出发，到每个点的距离。

这道题就是一个单源最短路径的模板，有两种做法：

1.Floyd算法

暴力枚举出所有起点、终点以及中间值，然后算出每两个点间的最小值。

但这个算法时间复杂度较高，是O（n^3），很容易爆掉，在这道题甚至拿不到分。

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int arr[10000][10000];
 4 int main(){
 5     int n,m,s,i,j,k,a,b,c;
 6     cin>>n>>m>>s;
 7     for(i=1;i<=n;i++){
 8         for(j=1;j<=n;j++){
 9             if(i==j){
10                 arr[i][j]=0;
11             }else{
12                 arr[i][j]=99999999;
13             }
14         }
15     }
16     while(m--){
17         cin>>a>>b>>c;
18         arr[a][b]=min(c,arr[a][b]);
19     }
20     for(k=1;k<=n;k++){
21         for(i=1;i<=n;i++){
22             if(i==k||arr[i][k]==99999999){
23                 continue;
24             }
25             for(j=1;j<=n;j++){
26                 arr[i][j]=min(arr[i][j],arr[i][k]+arr[k][j]);
27             }
28         }
29     }
30     for(i=1;i<=n;i++){
31         cout<<arr[s][i]<<" ";
32     }
33 }

这道题我们要用一种更高级的算法——

2.dijkstra算法

在无负权边的情况下，时间复杂度为 O（n log n）基本可以顺利通过所有模板题。

先确定初始点到其他所有点的路径（可能为无穷），然后从和该点距离最小点开始遍历，不断更新这些点与初始点的最小距离（学术名叫松弛），最后求出初始点与所有其他点的最短路。

然后要通过此题，还需要前向星存边和优先队列（堆）优化，可能比较难理解，自己画图模拟即可。

上代码（有注释）：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 long long vis[100001]={0},head[100001],dis[100001],cnt,n,m,s,a,b,c;
 4 long long INF=2147483647;//2的31次方，可以看做无穷
 5 struct Q{
 6     int a,b,c,next;
 7 };//邻接表，在有向图中存储起点、终点权值，next用来前向星存边
 8 struct node{//放进优先队列中的结构体
 9     int w,now;//w为最短路，now为点
10     bool operator <(const node &x)const{
11         return w>x.w;//权值从大到小排
12     }
13 };
14 priority_queue<node> q;//优先队列
15 Q e[500001];
16 void add(int a,int b,int c){//前向星存边
17     e[cnt++].a=a;
18     e[cnt].b=b;
19     e[cnt].c=c;
20     e[cnt].next=head[a];//next存储上一个cnt值，方便for循环从后往前遍历边
21     head[a]=cnt;
22 }
23 void dijkstra(){
24     for(int i=1;i<=n;i++){
25         dis[i]=INF;
26     }
27     dis[s]=0;
28     q.push((node){0,s});//将起点压入队列
29     while(!q.empty()){//队列非空
30         node x=q.top();//弹出堆顶（最小）元素
31         q.pop();
32         int u=x.now;
33         if(vis[u]==1){
34             continue;//遍历完无需再遍历
35         }
36         vis[u]=1;
37         for(int i=head[u];i;i=e[i].next){//用前向星遍历
38             int v=e[i].b;
39             dis[v]=min(dis[v],dis[u]+e[i].c);//松弛操作
40             q.push((node){dis[v],v});
41         }
42     }
43 }
44 int main(){
45     cin>>n>>m>>s;
46     for(int i=0;i<m;i++){
47         cin>>a>>b>>c;
48         add(a,b,c);
49     }
50     dijkstra();
51     for(int i=1;i<=n;i++){
52         cout<<dis[i]<<" ";
53     }
54 }