【leetcode 29】 两数相除（中等）

题目描述

给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。

整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2

示例 1:

输入: dividend = 10, divisor = 3

输出: 3

解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3

示例 2:

输入: dividend = 7, divisor = -3

输出: -2

解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2

解题思路

首先要考虑到数字的正负问题，如果除数和被除数都为正数或者都为负数，结果也是正数，否则为负数。使用 sign 标记正负，然后将除数和被除数都转成正数：

int sign = 1;
if ((dividend > 0 && divisor < 0) || (dividend < 0 && divisor > 0)) {
     sign = -1;
}
int dividends = Math.abs(dividend);
int divisors = Math.abs(divisor);

要求不能使用乘法、除法和取余运算，算出两数相除的值，结果值取整。涉及到运算，那就得使用到别的运算符，比如加法。比如 10/3 转成 10 一直减 3,直到被减的数小于被除数。

10 - 3 = 7
7 -3 = 4
4 - 3 = 1 < 3

上面一共减了三次，所以 10/3 = 3，根据思路写出下面代码：

public int divide(int dividend, int divisor) {
        int sign = 1;
        if ((dividend > 0 && divisor < 0) || (dividend < 0 && divisor > 0)) {
            sign = -1;
        }
        int dividends = Math.abs(dividend);
        int divisors = Math.abs(divisor);
        int index = 0;
        while (dividends >= divisors) {
            dividends = dividends - divisors;
            index++;
        }

        return index * sign;
    }

结果：

这里涉及到数字范围的问题，我们发现 -2147483648，取相反数还是-2147483648，这是由于编码 int 占四个字节，一个字节八个位。

所以需要使用转成 long 类型，避免数据越界问题：

 int sign = 1;
        if ((dividend > 0 && divisor < 0) || (dividend < 0 && divisor > 0)) {
            sign = -1;
        }
        long dividends = Math.abs((long) dividend);
        long divisors = Math.abs((long) divisor);
        long index = 0;
        while (dividends >= divisors) {
            dividends = dividends - divisors;
            index++;
        }
        if (index > Integer.MAX_VALUE && sign == 1) {
            return Integer.MAX_VALUE * sign;
        }
        return (int) index * sign;

结果:

结果超时，是因为一个个减，是需要重复次数，时间复杂度是O(n)。

这里需要使用递进式的减法，比如

10/1 = 10
10 - 1 = 9   index = 1
9 - 1 = 8   index = 2
8 - 1 = 7   index = 3
7 - 1 = 6   index = 4
6 - 1 = 5   index = 5
....
1 - 1 = 0   index = 10

这上面是要进行十步操作，需要做的一个递进的操作，被除数做加倍，比如上面可以转成：

10 - 1= 9          index = 1 = 1
9 - 1*2 = 7        index = 1 + 1*2 = 3
7 - 1*2*2 =  3    index = 1 + 1*2 + 1 *2*2 = 7

再匹配 3 - 1*2*2*2 < 0,还需要再进行上面的减操作
3 - 1 = 2          index = 7 + 1 = 8
2 - 1*2 = 0       index = 7 + 1 + 1* 2 = 10

具体流程：

根据以上思路可得如下代码：

int sign = 1;
        if ((dividend > 0 && divisor < 0) || (dividend < 0 && divisor > 0)) {
            sign = -1;
        }
        long dividends = Math.abs((long) dividend);
        long divisors = Math.abs((long) divisor);
        long index = 0;
        while (dividends >= divisors) {
            long temp = divisors;
            long i = 1;
            while (dividends >= temp) {
                dividends = dividends - temp;
                index = index + i;
                temp = temp << 1;
                i = i << 1;
            }
        }
        if (index > Integer.MAX_VALUE && sign == 1) {
            return Integer.MAX_VALUE * sign;
        }
        return (int) index * sign;

总结

• 此题解法开始想到将除法转成减法，一个一个累计减
• 需要考虑 int 范围溢出问题，这里统一换成 long 类型
• 累减需要的时间负复杂度是O(n),容易超时，这里需要转成递进减法，即每次都对被减数加倍

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