图与网络

一个网络G,也可以称为图(graph)或网络图,是一种包含了节点V(即网络参与者,也称顶点)与边E(即节点之间的连接关系)的数学结构,记作G={V,E}。可以使用一个矩阵来存放节点之间的连接关系,这个矩阵称为邻接矩阵。如果网络中两个节点之间的边是有方向的,即从节点u出发指向节点v,这就是一个有向网络(有向图),否则称为无向网络(无向图)。网络的边也可以赋予权重,称为加权网络。

一、R的igraph包

igraph包是一个用来解决图与网络问题以及对其进行可视化的包。igraph是一个“历史悠久”的开源项目,提供了一组简单易用且功能强大的网络分析工具,igraph有多种语言接口,包括了R\Python\C++等等。尽管(无论在R还是Python中)已经有了更多的网络分析和可视化工具,igraph依然是最好的出发点。

igraph包中创建图的对象的函数是

make_graph(edges, ..., n = max(edges), isolates = NULL,directed = TRUE,dir = directed, simplify = TRUE)
1.其中edges参数为边组成的向量,这个向量中的元素既可以是数字也可以是字符,也可以是literals参数(但不经常用)。比如如果是数字,c(1,2)表示一条从点1到点2的边,c(1,2,2,3)表示两条边,一条从1到2,另一条从2到3,注意图中的点的编号不能用0来命名,否则会报错,至于原因就不太清楚啦;字母的原理与数字相同
2.n为最大边数,只在edges参数中的元素是数字的时候有用,但我还是不太清楚这个参数的实质作用是什么,好像一般情况下用不到。
3.isolates为孤立的点组成的向量,但只有在edges参数中的元素是字符时才有用,比如make_graph(c('a','b','b','c'),isolates = c('d','e'))这个图有两条边ab,bc,还有两个孤立的点d和e.
4.directed为一个布尔型参数,TRUE表示有向图,FALSE表示无向图,dir参数与directed参数是一样的,但两者不能同时出现。
5.simplify参数只有在edges参数使用literals时才有用。

make_graph(edges, ..., n = max(edges), isolates = NULL,directed = TRUE,dir = directed, simplify = TRUE)

1其中edges参数为边组成的向量,这个向量中的元素既可以是数字也可以是字符,也可以是literals参数(但不经常用)。比如如果是数字,c(1,2)表示一条从点1到点2的边,c(1,2,2,3)表示两条边,一条从1到2,另一条从2到3,注意图中的点的编号不能用0来命名,否则会报错,至于原因就不太清楚啦;字母的原理与数字相同

2.n为最大边数,只在edges参数中的元素是数字的时候有用,但我还是不太清楚这个参数的实质作用是什么,好像一般情况下用不到。

3.isolates为孤立的点组成的向量,但只有在edges参数中的元素是字符时才有用,比如make_graph(c('a','b','b','c'),isolates = c('d','e'))这个图有两条边ab,bc,还有两个孤立的点d和e.

4.directed为一个布尔型参数,TRUE表示有向图,FALSE表示无向图,dir参数与directed参数是一样的,但两者不能同时出现。

5.simplify参数只有在edges参数使用literals时才有用。

二、图的数据结构

图是一组顶点:通常用V(Vertex)表示顶点集合;一组边:通常用E (Edge) 表示边的集合,边是顶点对:如(v, k) ∈E ,其中v, k ∈ V;有向图的边表示从v指向k的边(单行线),无向图的边是无向边(v, k)(双向线);边的权:通常用W(Weight)表示权的集合,这三个集合构成的三元有序组就表示一个赋权图。简单图一般不考虑多重边和自回路,如下图所示。

library("igraph")
m <- matrix( c(1,2,6, 1,3,5, 1,4,4, 1,6,4, 3,6,4, 3,7,3, 4,7,3, 5,8,5, 6,8,4, 7,8,6) ,ncol = 3,byrow = T)
#创建一个无向图
g <- make_graph(t(m[,1:2]),directed = FALSE)
#创建一个有向图
h <- make_graph(t(m[,1:2]),directed = TRUE)
graph_attr(g,'weight') <- m[,3] #加载权重
graph_attr(h,'weight') <- m[,3] #加载权重
E(g)$weight=m[,3]
E(h)$weight=m[,3]
#也可以用第一个函数获得图的权
graph_attr(g,'weight') #得到g的权
plot(g,edge.label = graph_attr(g,'weight')) #图1
plot(h,edge.label = graph_attr(h,'weight')) #图2

图1 无向图

连通:如果从V到K存在一条(无向)路径,则称V和K是连通的。连通图(Connected Graph):如果对于图的任一两个顶点v、K∈V,v和K都是连通的,则称该图为连通图。连通是图最重要的性质,表面我们所研究的对象图是一个有机整体。

1. 图的邻接矩阵

邻接矩阵(Adjacency Matrix)是表示顶点之间相邻关系的矩阵 (两顶点若连接,则为1,反之为0)。设G=(V,E)是一个图,其中V={v1,v2,…,vn} 。G的邻接矩阵是一个的n阶方阵:

①对无向图而言,邻接矩阵一定是对称的,而且主对角线一定为零(在此仅讨论无向简单图),副对角线不一定为0,有向图则不一定如此。

②无向图的邻接矩阵一定是对称的,而有向图的邻接矩阵不一定对称。

无向网络的邻接矩阵(对称阵)

若节点i 和节点j之间存在连接,则令矩阵中第i行第j列上的元素yij=1;若节点i 和节点j之间不存在连接,则令矩阵元素yij=0。

有向矩阵的邻接矩阵(非对称阵)

若节点i和节点j之间存在有向连接,则令矩阵元素yij=1;若节点i和节点j之间不存在有向连接,则令矩阵元素yij=0。

图1的邻接矩阵为

get.adjacency(g)
[1,] . 1 1 1 . . . .
[2,] 1 . . . . 1 . .
[3,] 1 . . . . 1 1 .
[4,] 1 . . . . . 1 .
[5,] . . . . . . . 1
[6,] . 1 1 . . . . 1
[7,] . . 1 1 . . . 1
[8,] . . . . 1 1 1 .

图2的邻接矩阵为(!!!有向边默认以行为起点)

get.adjacency(h)
[1,] . 1 1 1 . . . .
[2,] . . . . . 1 . .
[3,] . . . . . 1 1 .
[4,] . . . . . . 1 .
[5,] . . . . . . . 1
[6,] . . . . . . . 1
[7,] . . . . . . . 1
[8,] . . . . . . . .

2. 图的加权邻接矩阵

若节点i 和节点j之间存在连接,则令矩阵中第i行第j列上的元素yij=权重;若节点i 和节点j之间不存在连接,则令矩阵元素yij=0。可见,网络的邻接矩阵是加权网络的特例,是权重值只有1和0两个取值的加权邻接矩阵。

图1的加权邻接矩阵

get.adjacency(g,attr = "weight",sparse = T)
[1,] . 6 5 4 . . . .
[2,] 6 . . . . 4 . .
[3,] 5 . . . . 4 3 .
[4,] 4 . . . . . 3 .
[5,] . . . . . . . 5
[6,] . 4 4 . . . . 4
[7,] . . 3 3 . . . 6
[8,] . . . . 5 4 6 .

3. 图的边列表

边列表,也称边表,图的储存结构之一。边表由表头结点和表结点两部分组成,图中每个顶点均对应一个存储在数组中的表头结点。边表是图的一种存储结构,用来描述图上的每一个点。对图的每个边进行编号,对图的每个顶点建立一个链表(n个顶点建立n个链表),第i个容器中的结点包含以顶点Vi为起点的所有边的编号。

图1的边列表

get.data.frame(g)
from to
1 1 2
2 1 3
3 1 4
4 2 6
5 3 6
6 3 7
7 4 7
8 5 8
9 6 8
10 7 8

参考文献

R语言igraph包的使用

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