线段树学习笔记（基础&进阶）（一） | P3372 【模板】线段树 1 题解

什么是线段树

线段树是一棵二叉树，每个结点存储需维护的信息，一般用于处理区间最值、区间和等问题。

线段树的用处

对编号连续的一些点进行修改或者统计操作，修改和统计的复杂度都是 O(log n)。

基础线段树（+ 懒标记）

为什么不写没有懒标记的版本？

因为我太菜的不会写 因为有懒标记的版本更实用啦。

• P3372 【模板】线段树 1

这是一道线段树区间修改，区间查询的模板题，维护的是区间和。

1. 建树

void build(int rt, int L, int R) {
	l[rt] = L, r[rt] = R;
	if (L == R) {
		sum[rt] = a[L];
		return ;
	}
	int mid = L + R >> 1;
	build(rt << 1, L, mid), build(rt << 1 | 1, mid + 1, R);
	update(rt);
}

作为一棵最最普通的线段树，它有一个性质，对于每个结点 x，它的左儿子的编号是 x * 2 （即代码中的 x << 1），右儿子的编号是 x * 2 + 1 （即代码中的 x << 1 | 1）。

代码中的 l 和 r 数组用于记录编号为 rt 的点所管辖的区间的左右端点。

update 是什么？它是用子节点的数据更新自身的数据，以保证正确性。

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• update 的具体实现

void update(int rt) {
	sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}

它在后续的操作中也会用到。

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2. 修改

void change(int rt, int L, int R, int x) {
	if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) {
		sum[rt] += (r[rt] - l[rt] + 1) * x;
		lazy[rt] += x;
		return ;
	}
	pushdown(rt);
	if (L <= r[rt << 1]) change(rt << 1, L, R, x);
	if (l[rt << 1 | 1] <= R) change(rt << 1 | 1, L, R, x);
	update(rt);
}

其中传入的参数 L 和 R 表示需修改的区间的左右端点，x 表示这个区间上要加的数。

if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) 意为当该点管辖的区间被需修改的区间全覆盖时，直接修改这个点上记录的区间和，并打上懒标记，不继续下传，以保证效率。（懒标记就是一种记录修改操作的 tag，用于节省时间。）

pushdown 操作意为该点管辖的区间不完全覆盖于需修改的区间时，下传懒标记。（为什么现在才下传？因为懒标记就是这么用的 因为后面的更改会用到该点的子节点的数据，如果懒标记不下传，后面的修改操作就会出现问题。）

下面的两个 if 是什么？

if (L <= r[rt << 1]) 表示左儿子的区间中有部分（或全部）包含于询问区间，需统计。（如果还是没看出来就翻回去看看定义和性质吖）

那么是不是就知道 if (l[rt << 1 | 1] <= R) 是什么了？

对，它表示的是右儿子的区间中有部分（或全部）包含于询问区间，需统计。

传的参数为什么是这样不用我说了吧？

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• pushdown 的具体实现

void pushdown(int rt) {
	if (!lazy[rt]) return ;
	sum[rt << 1] += (r[rt << 1] - l[rt << 1] + 1) * lazy[rt];
	sum[rt << 1 | 1] += (r[rt << 1 | 1] - l[rt << 1 | 1] + 1) * lazy[rt];
	lazy[rt << 1] += lazy[rt];
	lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
	lazy[rt] = 0;
	update(rt);
}

在下传懒标记时给子节点的区间和加上 懒标记的值 × 子节点的区间大小。（给该子节点的管辖区间的所有数都加上懒标记的值，那么该区间的区间和就会加上 懒标记的值 × 区间长度。）

同时，给子节点的懒标记都加上自己的懒标记的值。（没错我还是给你吊在那里，不给你传到底）

记得清空自己的懒标记值并更新自己的区间和。

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3. 查询

ll query(int rt, int L, int R) {
	if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) return sum[rt];
	pushdown(rt);
	ll res = 0;
	if (L <= r[rt << 1]) res += query(rt << 1, L, R);
	if (l[rt << 1 | 1] <= R) res += query(rt << 1 | 1, L, R);
	return res;
}

查询其实和修改很像。（不妨肉眼观查一下）

在该结点所管辖的区间完全被覆盖时，直接返回区间和。

若未被完全覆盖，则下传懒标记，分左右儿子考虑，统计总答案并返回值。

是不是 so easy？

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于是你愉快地切了这题。

完整代码，点击查看

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair<int, int>
inline ll read() {
	ll s = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') w = -1; c = getchar();}
	while (c >= '0' && c <= '9') s = (s << 3) + (s << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
	return s * w;
}
const int N = 100010;
int n, m, a[N];
struct SegmentTree {
	ll sum[N << 2], lazy[N << 2];
	int l[N << 2], r[N << 2];
	void update(int rt) {
		sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
	}
	void pushdown(int rt) {
		if (!lazy[rt]) return ;
		sum[rt << 1] += (r[rt << 1] - l[rt << 1] + 1) * lazy[rt], lazy[rt << 1] += lazy[rt];
		sum[rt << 1 | 1] += (r[rt << 1 | 1] - l[rt << 1 | 1] + 1) * lazy[rt], lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
		lazy[rt] = 0;
		update(rt);
	}
	void build(int rt, int L, int R) {
		l[rt] = L, r[rt] = R;
		if (L == R) {
			sum[rt] = a[L];
			return ;
		}
		int mid = L + R >> 1;
		build(rt << 1, L, mid), build(rt << 1 | 1, mid + 1, R);
		update(rt);
	}
	void change(int rt, int L, int R, int x) {
		if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) {
			sum[rt] += (r[rt] - l[rt] + 1) * x;
			lazy[rt] += x;
			return ;
		}
		pushdown(rt);
		if (L <= r[rt << 1]) change(rt << 1, L, R, x);
		if (l[rt << 1 | 1] <= R) change(rt << 1 | 1, L, R, x);
		update(rt);
	}
	ll query(int rt, int L, int R) {
		if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) return sum[rt];
		pushdown(rt);
		ll res = 0;
		if (L <= r[rt << 1]) res += query(rt << 1, L, R);
		if (l[rt << 1 | 1] <= R) res += query(rt << 1 | 1, L, R);
		return res;
	}
} tree;
int main() {
	n = read(), m = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
	tree.build(1, 1, n);
	while (m--) {
		int op = read();
		if (op == 1) {
			int l = read(), r = read(), x = read();
			tree.change(1, l, r, x);
		}
		if (op == 2) {
			int l = read(), r = read();
			printf("%lld\n", tree.query(1, l, r));
		}
	}
	return 0;
}

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现在，你学会了区间修改区间查询的线段树，不如想想 单点修改区间查询 和 区间修改单点查询 怎么写？（为什么没有单点修改单点查询线段树呢（小声）

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