Floyd算法(弗洛伊德算法) 百度百科

核心代码

for(int k=1; k<=NODE; ++k)//对于每一个中转点

    for(int i=0; i<=NODE; ++i)//枚举源点

        for(int j=0; j<=NODE; ++j)//枚举终点

            if(distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j])//不满足三角不等式

            {

                distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j];//更新

                path[i][j]=k;//记录路径

            }

状态转移方程

其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；

map[i,j]表示i到j的最短距离，K是穷举i,j的断点，map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路。

时间复杂度与空间复杂度

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时间复杂度:O(n^3)；

空间复杂度:O(n^2)[1]

优缺点分析

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Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法，也要高于执行V次SPFA算法。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。

缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

算法描述

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a)　初始化：D[u,v]=A[u,v]

b)　For k:=1 to n

For i:=1 to n

For j:=1 to n

If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then

D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];

c)　算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵

参考代码

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C语言

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#define max 1000000000

int d[1000][1000],path[1000][1000];

int main()

{

int i,j,k,m,n;

int x,y,z;

scanf("%d%d",&n,&m);

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++){

d[i][j]=max;

path[i][j]=j;

}

for(i=1;i<=m;i++)

{

scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

d[x][y]=z;

d[y][x]=z;

}

for(k=1;k<=n;k++)

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

{

if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]){

d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];

path[i][j]=path[i][k];

}

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=i;j++)

if (i!=j) printf("%d->%d:%d\n",i,j,d[i][j]);

int f,en;

scanf("%d%d",&f,&en);

while (f!=en){

printf("%d->",f);

f=path[f][en];

}

printf("%d\n",en);

return 0;

}

C++语言

#include<iostream>

#include<vector>

using namespace std;

const int &INF=100000000;

void floyd(vector<vector<int> > &distmap,//可被更新的邻接矩阵，更新后不能确定原有边

vector<vector<int> > &path)//路径上到达该点的中转点

//福利：这个函数没有用除INF外的任何全局量，可以直接复制！

{

const int &NODE=distmap.size();//用邻接矩阵的大小传递顶点个数，减少参数传递

path.assign(NODE,vector<int>(NODE,-1));//初始化路径数组

for(int k=1; k!=NODE; ++k)//对于每一个中转点

for(int i=0; i!=NODE; ++i)//枚举源点

for(int j=0; j!=NODE; ++j)//枚举终点

if(distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j])//不满足三角不等式

{

distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j];//更新

path[i][j]=k;//记录路径

}

void print(const int &beg,const int &end,

const vector<vector<int> > &path)//传引用，避免拷贝，不占用内存空间

//也可以用栈结构先进后出的特性来代替函数递归

{

if(path[beg][end]>=0)

{

print(beg,path[beg][end],path);

print(path[beg][end],end,path);

}

else cout<<"->"<<end;

}

int main()

{

int n_num,e_num,beg,end;//含义见下

cout<<"（不处理负权回路）输入点数、边数：";

cin>>n_num>>e_num;

vector<vector<int> > path,

distmap(n_num,vector<int>(n_num,INF));//默认初始化邻接矩阵

for(int i=0,p,q; i!=e_num; ++i)

{

cout<<"输入第"<<i+1<<"条边的起点、终点、长度（100000000代表无穷大，不联通）：";

cin>>p>>q;

cin>>distmap[p][q];

}

floyd(distmap,path);

cout<<"计算完毕，可以开始查询，请输入出发点和终点：";

cin>>beg>>end;

cout<<"最短距离为"<<distmap[beg][end]<<"，打印路径："<<beg;

print(beg,end,path);

}