CF 964C Alternating Sum

给定两正整数 $a, b$ 。给定序列 $s_0, s_1, \dots, s_n，s_i$ 等于 $1$ 或 $-1$，并且已知 $s$ 是周期为 $k$ 的序列并且 $k\mid (n+1)$，输入只给出序列 $s$ 的前 $k$ 项。

Find out the non-negative remainder of division of $\sum\limits_{i=0}^n s_i a^{n-i}b^i$ by $10^9+9$.

数据范围

$ 1\le n, a, b \le 10^9$
$ 1\le k \le 10^5$

分析

注意到 $10^9 + 9$ 是一个素数，令 $p = 10^9 + 9$ 。
问题可化为等比数列求和。公比为 $q = \left(\dfrac{b}{a}\right)^k$ 。要特别注意 $q = 1 \pmod{p}$ 时等比数列的求和公式不再适用。

比赛时，我第一发提交没有注意到这个点。后来想到这个点，但只想到了 $a = b \pmod{p}$ 的情况。其实这并不是使 $q = 1$ 的唯一情况，至少还有一种情况「$a = - b \pmod {p}$ 且 $k$ 为偶数」也使得 $q = 1$ 。比赛时我没想到这种情况，到快结束时，把用公式求和换成折半求和才通过的。

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$1-(\frac{b}{a})^k $ 在模 $p$ 逆元不存在 $\iff$ $1-(\frac{b}{a})^k = 0 \pmod{p}$ $\iff$ $(\frac{b}{a})^k = 1 \pmod{p}$

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「这一段论证真是太蠢了，被自己给蠢哭了」
下面仔细分析一下这个问题
令 $S = \sum\limits_{i=0}^{k-1} s_i a^{n-i}b^i$ 。考虑 $q \ne 1\pmod{p}$ 的情形。
求和公式为
\[
\frac{S(1-(\frac{b}{a})^{n+1})} {1-(\frac{b}{a})^k}
\]

分母 $1-(\frac{b}{a})^k$ 在模 $p$ 下的逆元一定存在吗？

答案是肯定的。假设分母在模 $p$ 下的逆元不存在，即 $p\mid (a^k - b^k)(a^k)^{-1}\iff p\mid (a^k - b^k)$

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总结

当意识等比数列求和公式有不适用的情况时，应当进一步问自己，「等比数列求和公式不适用的充要条件是什么？」然后就自然会想到「直接去判断 $\left(\dfrac{b}{a}\right)^k \bmod p$ 是否等于 $1$」 。