群的定义

若非空集合\(G\)和定义在\(G\)上的二元运算\(⋅\)构成的代数结构\((G,⋅)\),满足:

  • 封闭性:\(\forall a,b\in G\),有\(a⋅b\in G\)。
  • 结合律:\(\forall a,b,c\in G\),有\((a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\)。
  • 单位元:\(\exists e\in G\),满足\(\forall a\in G\)有\(a⋅e=a\)。
  • 逆元:\(\forall a\in G\),\(\exists b\in G\)使得\(a⋅b=e\),记\(a^{-1}=b\)。

则代数结构\((G,⋅)\)是一个群(group)
常见的群有:整数、有理理数、实数加法群;模\(n\)意义下的加法群;模\(n\)意义下与\(n\)互质的数构成的乘法群;置换群,群的元素是一个双射\(f\),运算为映射的复合。

拉格朗日定理

对于群\((G,⋅)\),若有\(G'\subset G\)且\((G',⋅)\)也是群,则有\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。

证明:
记\(G_a\)表示集合\(G\)的陪集\(\{x⋅a|x\in G\}\),那么易知\(|G_a|=|G|\)。
对于\(a,b\in G\),若有\(G'_a\cap G'_b \neq \emptyset\),则\(\exists x,y\in G'\)满足\(x⋅a=y⋅b ⇔ a=x^{-1}⋅y⋅b\)。
那么\(\forall z\in G'\),有\(z⋅a=z⋅(x^{-1}⋅y⋅b)=(z⋅x^{-1}⋅y)⋅b\)。易知\(z⋅x^{-1}⋅y \in G'\),所以\(G'_a\)中的每一个元素都存在于\(G'_b\)中,即\(G'_a=G'_b\)。
于是可知\(G'\)的陪集之间只有两种关系,互不相交或完全相同。而由于\(e\in G'\),所以\(G'\)的所有陪集的并就是\(G\)。又由于陪集的大小等于原集合,所以\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。

由拉格朗日定理可以推出欧拉定理\(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\)。

证明:
设集合\(S=\{a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)}\}\),其中\(gcd(a_i,n)=1\)。\(S\)与模乘法形成的代数结构\((S,\times)\)是群。
那么设\(S_i=\{1,a_i,a_i^2,a_i^3...\}\),易知\((S_i,\times)\)是\((S,\times)\)的子群,即\(|S_i||\varphi(n)\)。而\(a_i^{|S_i|}\equiv 1\),所以\(a_i^{\varphi(n)}\equiv 1\)。

Burnside引理

如果对于\(x,y\in M\),\(∃f\in G\)使得\(f(x)=y\),那我们就称\(x\)和\(y\)是本质相同的。定义集合\(M\)关于置换群\(G\)的轨道数为\(M\)中本质不同的元素个数。
若对于\(x\in M\)和置换\(f\)有\(f(x)=x\),则称\(x\)是\(f\)的一个不动点。
集合\(M\)关于置换群\(G\)的轨道数,等于\(G\)中每个置换下不动点的个数的算术平均数。

Polya定理

每一个置换都可以表示成若干个轮换。轮换中的元素互相交换且不影响该轮换外的元素。例如\(f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&1&4&6&5&3\end{pmatrix}\)就是\(\{1,2\},\{3,4,6\},\{5\}\)的轮换,其轮换数为\(3\)。记\(c(f)\)为置换\(f\)的轮换数。
设\(G\)是\(n\)个对象的一个置换群,用\(m\)种颜色为这\(n\)个对象上色,则本质不同的染色方案数为\(\dfrac{\sum_{f\in G}m^{c(f)}}{|G|}\)。
其实Polya定理就相当于说置换\(f\)的不动点个数为\(m^{c(f)}\)。因为每个轮换必须填相同颜色才能在经过\(f\)后保持不变,所以不动点个数为\(m^{c(f)}\)。

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