【题解】Counting D-sets(容斥+欧拉定理)

没时间写先咕咕咕。

就是容斥，只是难了一二三四五$\dots \inf$点

题目大意：

给定你一个$n$维空间，问你这个空间内有多少个点集满足两点间最大的切比雪夫距离为$d$。两个点集不同，当且仅当两个点集无法通过平移而想等。

转化1

考虑最后那个限制，平移想等的限制，受这道题的启发【题解】At2370 Piling Up，我们考虑钦定每一维的$0$点都有点坐落，这样就钦定了一个基准，问题就转变成了要求每维都有$0$，且存在某个点的某维坐标为$d$，且$d$是所有数里最大的。

转化2

此类题有一个套路，就是当它钦定最大最小为$d$的时候的方案数，可以等于$[0,d]$的随机分配$-[0,d-1]$的随机分配，这样减出来的方案就保证了一定有点在$d$空间的边界上，不然一定会被减去。

转化3

所以我们答案就是$f(d)-f(d-1)$，其中$f(d)$表示$n$维空间的每维在$[0,d]$中随意分配坐标的方案数。此时我们发现仍然有问题，因为我们还没有钦定每一维有$0$。

考虑我们如何钦定每一维都有零，显然不能一个组合数直接钦定，因为可能一个点的坐标有多个$0$，这个情况我们考虑不到。但是可以发现每一维本质相同的(意思是可以通过组合数来计算方案)，所以可以$O(n)$容斥。考虑我们容斥什么，我们容斥钦定每至少i维没有$0$，最后我们要的是$0$维没有$0$。

转换4

我们看一个点的坐标，写成这个形式$p(x_1,x_2,x_3,x_4\dots x_n)，x_i\in [0,d],x_i \in N^+$，那么由$p$构成的点集的方案是多少呢，我想啊想想不出来就去看题解去了。题解告诉我，这个的方案数是

\[2^{(d+1)^n}
\]

傻逼了。其实很简单，总共有$(d+1)^n$个点，枚举每个点放不放即可，注意包括了一个也不放的方案。

那么如何钦定至少$i$没有$0$呢？很简单，钦定$x_i\in[1,d]$就好了。那么这个的方案就是

\[{n \choose i}2^{d^i(d+1)^{n-i}}
\]

乘上一个组合数枚举哪些维度没有$0$。

所以最终$f(x)=$

\[\sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i}2^{d^i(d+1)^{n-i}}
\]

所以最终答案$=f(d)-f(d-1)$

转换5

看答案那个式子，你发现你要到指数上面取膜，你很害怕，因为你好像不知道指数上取膜的运算规则。这就$naive$了，模数是$1e9+7$是个质数，现在你发现欧拉定理有用了，因为

\[a^{\phi(p)} \equiv 1 \mod p
\]

而质数中，$\phi(p)=p-1$。所以你在指数上就直接对$1e9+6$取膜就好了。

//@winlere

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;  typedef long long ll;

inline int qr(){

      register int ret=0,f=0;

      register char c=getchar();

      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();

      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();

      return f?-ret:ret;

}

const int mod=1e9+7;

inline int Pow(int base,const int&p){

      register int ret=1;

      for(register int t=p;t;t>>=1,base=1ll*base*base%mod)

	    if(t&1) ret=1ll*ret*base%mod;

      return ret;

}

const int mod2=mod-1;

inline int zhiPow(int base,const int&p){

      register int ret=1;

      for(register int t=p;t;t>>=1,base=1ll*base*base%mod2)

	    if(t&1) ret=1ll*ret*base%mod2;

      return ret;      

}

const int maxn=1e3+5;

int jc[maxn],inv[maxn];

int n,d;

inline int c(const int&n,const int&m){

      if(n<m)return 0;

      return 1ll*jc[n]*inv[m]%mod*1ll*inv[n-m]%mod;

}

inline int F(const int&x){

      register int ret=0;

      for(register int t=0,delta;t<=n;++t){

	    delta=1ll*c(n,t)*Pow(2,(1ll*zhiPow(x,t)*zhiPow(x+1,n-t))%mod2)%mod;

	    if(t&1) delta=mod-delta;

	    ret=(ret+delta)%mod;

      }

      return ret;

}

int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE

      freopen("in.in","r",stdin);

      //freopen("out.out","w",stdout);

#endif

      int T=qr();

      jc[0]=inv[0]=1;

      for(register int t=1;t<maxn;++t)

	    jc[t]=1ll*jc[t-1]*t%mod,inv[t]=Pow(jc[t],mod-2);

      while(T--){

	    n=qr(),d=qr();

	    cout<<((F(d)-F(d-1))%mod+mod)%mod<<endl;

      }

      return 0;

}

Status	Accepted
Memory	15257kB
Length	1546
Lang	C++14(gcc 6.3)
Submitted	2019-06-13 17:44:16
Shared	Yes
RemoteRunId	24729181