2017-9-13 NOIP模拟赛[xxy]

全排列

(permutation.cpp/c/pas)
Description
从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从 n
个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。当 m=n 时所有的排列情况叫全排列。
你觉得 xxy 会问你全排列的个数吗？Xxy：这个问题能淹死你，我才不问呢。我
要问的是求 n 的全排列中，先递增后递
减、先递减后递增的全排列的个数。由于答案可能很大，对 p 取余
Input
输入包含多组测试数据每组测试
数据一行两个整数 n，p
Output
对于每组测试数据输出一行表示答案
Example
permutation.in permutation.out
3 5 4
2 233 0
Hint
设数据组数为 T
对于 10%的数据，n<=10,p<=1000,T=1
对于另外 10%的数据，n<=12,p<=1000,T<=12
对于另外 10%的数据，n<=100,p<=100000,T<=100
对于另外 10%的数据，n<=100000,p<=1000000,T=1
对于另外 10%的数据，n<=100000,p<=1000000,T<=1000
对于另外 20%的数据，n<=1e9,p<=1e9,T<=1000
对于 100%的数据，n<=1e18,p<=1e18,T<=1000

/*
    打表找规律
    Ans=2^n-4
    用快速幂和快速乘进行计算
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,p;
long long mul(long long a,long long b){
    long long res=;
    while(b){
        if(b&)
            res=(res+a)%p;
        a=(a+a)%p;
        b>>=;
    }
    return res;
}
long long pow(long long a,long long b){
    long long res=;
    while(b){
        if(b&)
            res=mul(res,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=;
    }
    return res;
}
int main(){
    //freopen("Cola.txt","r",stdin);
    freopen("permutation.in","r",stdin);
    freopen("permutation.out","w",stdout);
    while(cin>>n>>p){
        if(n==||n==){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        long long ans=pow(,n);
        cout<<(ans-+p)%p<<endl;
    }
}

100分 打表找规律

埃及分数

(egypt.cpp/c/pas)
Description
对于一个分数 a/b（a！=1），将它表示为 1/x + 1/y + 1/z ……的形式，x，
y，z……互不相同。
多解取加数少的。加数相同时，取最小的分数最大的，最小分数相同时，取次小分
数最大的，以此类推。
输入保证 a<b 且 gcd（a，b）=1
Input
输入包含多组测试数据每组测试数
据包含一行 2 个数 a，b
Output
对于每组测试数据，输出一行表示答案，只输出分母，每个分母之间空 1 格
从小到大输出
Example
egypt.in egypt.out
5 6 2 3
8 9 2 3 18
Hint
对于 10%的数据，a，b<=10
对于另外 10%的数据，a,b<=100
对于另外 20%的数据，a，b<=10000
对于另外 30%的数据，a，b<=100000
对于 100%的数据，a，b<=1000000
由于本题时间复杂度不随数据范围的递增而递增，在此给出 std 耗时：
30% <=0.01s
10% <=0.2s
40% <=0.5s
20% <=0.9s

/*
    迭代加深搜索
    剪枝
    有一个非常重要的剪枝，当搜到深度为dep时，还有maxd-d+1的搜索空间
    如果每次都减一个1/i
    那么就是减delta=(1/i)*(maxd-d+1)
    如果(aa/bb)-delta>0就返回
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a,b,maxd;
long long ans[],v[];
int get_first(int x,int y){
    for(int i=;;i++)
        if(x*i>=y)return i;
}
bool better(int d){
    for(int i=d;i>=;i--)
        if(ans[i]!=v[i])return ans[i]==-||ans[i]>v[i];
    return false;
}
long long gcd(long long x,long long y){
    if(y==)return x;
    return gcd(y,x%y);
}
bool dfs(int dep,int from,long long aa,long long bb){
    if(dep==maxd){
        if(bb%aa)return false;
        v[dep]=bb/aa;
        if(better(dep))for(int i=;i<=dep;i++)ans[i]=v[i];
        return true;
    }
    bool ok=false;
    from=max(from,get_first(aa,bb));
    for(int i=from;;i++){
        if(aa*i>=bb*(maxd-dep+))break;
        v[dep]=i;
        long long b2=bb*i,a2=aa*i-bb,g=gcd(b2,a2);
        if(dfs(dep+,i+,a2/g,b2/g)) ok=true;
    }
    return ok;
}
int main(){
    freopen("egypt.in","r",stdin);
    freopen("egypt.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&a,&b);
    int fr=get_first(a,b);
    for(maxd=;;maxd++){
        memset(ans,-,sizeof(ans));
        if(dfs(,fr,a,b)){
            for(int i=;i<=maxd;i++)printf("%d ",ans[i]);
            return ;
        }
    }
    return ;
}

100分 迭代加深搜索+剪枝

走楼梯

(stair.cpp/c/pas)
Description
由于经典走楼梯问题被 xxy 升级了 2 次，上帝非常满意，所以当 xxy 完成这最
后一次跳跃时，会有一定的几率开启轮回之梯。轮回之梯有 n 阶，每一阶上都会有一个
轮回指数，xxy 用不同的策略走到轮回之梯的第 n 阶，会得到不同的轮回值。
由于轮回之梯不是普通的楼梯，每走一步需要消耗极大的体力，xxy 体力有限。上
帝允许 xxy 在中途休息。所以 xxy 如果在第 i 阶，他可以选择立刻走到第 i+1 阶，也可
以选择在第 i 阶休息一会儿。休息和立刻走看做不同的走楼梯方式。
上帝说：我现在给你提供所有台阶的轮回指数，我需要你回答所有不同的走轮回之
梯的方式获得的轮回值之和。如果某种方式你算不出来，你可以亲自去走一遍。你走的次数
越少，就会有越大的几率开启六道轮回。Xxy 非常想开启六道轮回，但由于之前在楼梯上跳
来非常累，现在不想动弹，连飞也不想飞。所以只能在求助学信息学奥赛的你了。
轮回值计算方式：
轮回值为所有的轮回子值之和。
设第 i 个台阶的轮回指数为 xi，如果 xxy 连续从第 L 阶走到第 R 阶，那么
xxy 可以得到的轮回子值为 xL 一直累乘到 xR。特别的，当 L=R 时，轮回子值为 xL。
注意：xxy 开始在轮回之梯的第 1 阶，可以选择先休息一会儿，也可以立刻走到
第 2 阶。走一遍轮回之梯指的是从第 1 阶走到第 n 阶。
由于答案很大，上帝可不想看到几千几百个数字，所以你只需要告诉他答案对
1000000007 取模。
Input
第一行一个整数 n。
接下来 n 个整数，表示 xi
Output
输出一行表示答案
Example
stair.in stair.out
2 30
1 2 4
Hint
对于 10%的数据，1<=n<=10,1<=xi<=10
对于另外 20%的数据,所有的 Xi=1
对于另外 20%的数据,n<=100,xi<=1e5
对于另外 20%的数据,n<=1000,xi<=1e5
对于 100%的数据，n<=100000,xi<=1e9

/*
    Dp
    Dp[i][j]已经枚举了i个数，插入了j个加号
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,a[];
long long cf[];
long long dp[],pre[],inv[];
long long pow(long long a,long long b){
    long long res=;
    while(b){
        if(b&) res*=a,res%=mod;
        b>>=; a*=a; a%=mod;
    }
    return res;
}
void read(int &x){
    x=; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*+c-''; c=getchar(); }
}
int main(){
    freopen("stair.in","r",stdin);
    freopen("stair.out","w",stdout);
    read(n);
    for(int i=;i<=n;i++)   read(a[i]);
        cf[]=;
        for(int i=;i<=n;i++) cf[i]=cf[i-]*%mod;
        long long tot;
        pre[]=;
        for(int i=;i<=n;i++) pre[i]=pre[i-]*a[i]%mod;
        for(int i=;i<=n;i++) inv[i]=pow(pre[i],mod-);
        long long sum1=,sum2=;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            dp[i]=(sum1+sum2*pre[i]%mod)%mod;
            sum1=(sum1+dp[i])%mod;
            sum2=(sum2+cf[i-]*inv[i]%mod)%mod;
        }
        printf("%I64d",dp[n]);
}

100分 前缀和优化dp