[图论]牛的旅行 Cow Tours :Floyed-Warshall

牛的旅行 Cow Tours

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题目描述

农民 John的农场里有很多牧区。有的路径连接一些特定的牧区。一片所有连通的牧区称为一个牧场。但是就目前而言，你能看到至少有两个牧区通过任何路径都不连通。这样，Farmer John就有多个牧场了。

John想在牧场里添加一条路径(注意，恰好一条)。对这条路径有以下限制：

一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离(本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离)。考虑如下的有5个牧区的牧场，牧区用“*”表示，路径用直线表示。每一个牧区都有自己的坐标：

            (15,15) (20,15)
             D       E
             *-------*
             |     _/|
             |   _/  |
             | _/    |
             |/      |
    *--------*-------*
    A        B       C
 (10,10)  (15,10) (20,10)

这个牧场的直径大约是12.07106, 最远的两个牧区是A和E，它们之间的最短路径是A-B-E。

这里是另一个牧场：

                    *F(30,15)
                   /
                 _/
               _/
              /
             *------*
             G      H
             (25,10)   (30,10)

在目前的情景中，他刚好有两个牧场。John将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。

输入文件包括牧区、它们各自的坐标，还有一个如下的对称邻接矩阵

      A  B  C  D  E  F  G  H
   A  0  1  0  0  0  0  0  0
   B  1  0  1  1  1  0  0  0
   C  0  1  0  0  1  0  0  0
   D  0  1  0  0  1  0  0  0
   E  0  1  1  1  0  0  0  0
   F  0  0  0  0  0  0  1  0
   G  0  0  0  0  0  1  0  1
   H  0  0  0  0  0  0  1  0

其他邻接表中可能直接使用行列而不使用字母来表示每一个牧区。输入数据中不包括牧区的名字。

输入文件至少包括两个不连通的牧区。

请编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，这个更大的新牧场有最小的直径。输出在所有牧场中最小的可能的直径。

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输入格式

第1行: 一个整数N (1 <= N <= 150), 表示牧区数

第2到N+1行: 每行两个整数X,Y (0 <= X ,Y<= 100000), 表示N个牧区的坐标。注意每个 牧区的坐标都是不一样的。

第N+2行到第2*N+1行: 每行包括N个数字(0或1) 表示如上文描述的对称邻接矩阵。

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输出格式

只有一行，包括一个实数，表示所求直径。数字保留六位小数。

只需要打到小数点后六位即可，不要做任何特别的四舍五入处理。

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输入输出样例

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输入 #1

8
10 10
15 10
20 10
15 15
20 15
30 15
25 10
30 10
01000000
10111000
01001000
01001000
01110000
00000010
00000101
00000010

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输出 #1

22.071068

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解析

这道题用到了最短路，本题解用的是Floyed-Warshall算法。

Floyed-Warshall算法简称Floyed(弗洛伊德)算法，是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。Floyed的时间复杂度是O (N³)，适用于出现负边权的情况。
算法描述：
初始化：点u、v如果有边相连，则dis[u][v]=w[u][v]。
　　如果不相连则xt[u][v]=0x7fffffff

分割线------------------------------------------
这一题就是用Floyed-Warshall算法求一遍最短路，然后找出每一个点联通的距离它最远的点，然后记录下来，最后再枚举任意两个不连通的点，将它们联通，这样就可以根据两点之间的距离公式以及两个点各自的最大距离相加，就是新连接的两个牧场的直径

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代码

#include<cmath>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX=0x7fffffff; //int类型的最大值
int n,x[151],y[151]; //储存n的点的位置
double xt[151][151],bq[151],jo,jk=MAX;
double maxx(double a,double b){
    //a和b和函数maxx要用double类型，因为传输过来的和发送出去的值可能是浮点数
	return a>b?a:b; //三目运算
}
double minn(double a,double b){ //同上
	return a<b?a:b; //三目运算
}
double BIG_JB(int i,int j){
	return sqrt(abs(x[i]-x[j])*1.0*abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])*1.0*abs(y[i]-y[j]));
	//通过勾股定理来求这两个点的最短距离
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=1;j<=n;j++){
	 	int bq_deng;
	  	scanf("%1d",&bq_deng);
	  	if(bq_deng)xt[i][j]=BIG_JB(i,j); //如果i点和j点是联通的，就算出它们的距离
	  	 else if(i!=j) xt[i][j]=MAX; //不然如果不是自己本身这个点就将它们的距离赋最大值
	 }
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if((i!=j) and (i!=k) and (j!=k) and (xt[i][k]+xt[k][j]<xt[i][j]))
                    xt[i][j]=xt[i][k]+xt[k][j]; //我们的Floyed-Warshall算法
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=1;j<=n;j++){
	 	if(xt[i][j]!=MAX)bq[i]=maxx(bq[i],xt[i][j]);
	 	jo=maxx(jo,bq[i]); //找出每一个点联通的距离它最远的点，然后记录下来
	 }
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=1;j<=n;j++)
	  if(xt[i][j]==MAX)
	   jk=minn(jk,bq[i]+BIG_JB(i,j)+bq[j]);
	  //根据两点之间的距离公式以及两个点各自的最大距离相加，计算最大牧场直径
	printf("%.6lf\n",max(jo,jk)); //因为有可能新联通的牧场还没有原来的牧场大，所以还要再取一遍最大值
	return 0;
}