CF533F Encoding 题解

提示1：

$\mathcal O(26^2*n)$ 的算法可通过。常用的几种字符串匹配算法kmp，AC自动机，哈希都可以解决该问题（后两者可以优化到 $\mathcal O(26*n)$ ）。

提示2：

将文本串 $S$ 和模式串 $T$ 中的 $26$ 个字母分开考虑，各自匹配。

$\mathcal O(26^2*n)$ 的kmp匹配

枚举每一种转换，记为 $(x,y),x,y\in\{'a','b',\cdots,'z'\}$，$x$ 可以等于 $y$ ，即不转换。如果该转换在某区间 $S[l,r]$ 是与 $T$ 匹配的，则说明在 $S[l,r]$ 中每个 $x$ 位置和 $T$ 中 $y$ 位置一一对应，每个 $y$ 位置和 $T$ 中 $x$ 位置一一对应，而且不会有另一个关于 $x$ 的转换使得该区间匹配。若对于 $S[l,r]$ 段上 $x$ 的任何一种转换都不能与 $T$ 匹配，则说明该段无法匹配；否则在该区间起点打标记，表示该转换匹配成功。对于 $T$ 任何一个字符 $x$ 都需要有转换在 $S[l,r]$ 中匹配，才说明 $S[l,r]$ 是与 $T$ 匹配的。

具体实现时令 $T$ 中 $x,y$ 互换，其他位置替换为 $0$，$S$ 中除 $x,y$ 以外的位置置为 0，其它保持不变，这样可以用kmp判断转换 $(x,y)$ 是否与 $S$ 上某一段匹配。例如：

	原字符串	转换 $(b,c)$ ,变成只含 $0,b,c$ 的序列（只在 $T$ 转换 $(b,c)$）
$S$	$abcab$	$0~b~c~0~b$
$T$	$acbac$	$0~b~c~0~b$

这里 $a,b,c$ 都能找到转换与 $S$ 匹配（$a$ 不转换就可以匹配），而对于 $S,T$ 都没出现的字母，任意转换都是匹配的，即会把两个序列都变成全 $0$ ，肯定是匹配的。

$Code:$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;

int sl,tl,nxt[N],ss[N],tt[N];

bool p[N][27];//p[i][j]标记S[i,i+tl-1]这段上是否有关于x的转换使得与T串匹配

char s[N],t[N];

vector<int>ans;

int main() {

    scanf("%d %d %s %s",&sl,&tl,s+1,t+1);

    for(int x = 'a'; x <= 'z'; x++){

        for(int y = x; y <= 'z'; y++){

            //t中x，y互换

            for(int i = 1;i <= tl;i++) {

                if(t[i] == x) tt[i] = y;

                else if(t[i] == y) tt[i] = x;

                else tt[i] = 0;

            }

            for(int i = 1; i <= sl; i++) ss[i] = ( (s[i] == y)||(s[i] == x) )? s[i] : 0;

            //kmp匹配

            for(int i = 2,j = 0; i <= tl; i++){

                while(j && tt[i] != tt[j + 1]) j = nxt[j];

                if(tt[i] == tt[j + 1]) nxt[i] = ++j;

                else nxt[i] = 0;

            }

            for(int i = 1,j = 0; i <= sl; i++){

                while(j && ss[i] != tt[j + 1]) j = nxt[j];

                if(ss[i] == tt[j + 1]) ++j;

                if(j == tl) {

                    p[i-tl+1][x-'a'] = 1;

                    p[i-tl+1][y-'a'] = 1;

                    j = nxt[j];

                }

            }

        }

    }

    //O(26*n) 的判断：S[i,i+tl-1]是否可以和转换后的T匹配,要满足t的每个字符j都有转换与S[i,i+tl-1]匹配

    for(int i = 1;i <= sl-tl+1;i++) {

        int flag = 1;

        for(int j = 0;j < 26;j++) if(!p[i][j]) { flag = 0;break;}

        if(flag) ans.push_back(i);

    }

    printf("%d\n",ans.size());

    for(auto it : ans) printf("%d ",it);

    return 0;

}

$\mathcal O(26*n)$ 的哈希匹配

在kmp匹配结束后，有一个 $\mathcal O(26*n)$ 的判断循环，因为在kmp中已经求出 $p_{i,j}$ 的值了，所以对于每个 $i$ ,有 $26$ 次 $\mathcal O(1)$ 的判断。我们考虑，哈希也可以 $\mathcal O(1)$ 的判断两个串是否匹配，这里只要将 $26$ 个字母分别求哈希值再求和匹配就可以了，所以哈希是可以将整体复杂度优化到 $\mathcal O(26*n)$ 的。

具体实现时需要求出一个特殊的数组，我们记为 $nxt_{i,j}$ ，表示 $S[i,|s|]$ 上第一次出现字符 $j$ 的下标。这样在我们判断 $S[i,i+|t|-1]$ 这段区间是否可以通过转换 $j$ 使得与 $T$ 匹配时，我们先通过 $nxt_{i,j}$ 获得 $j$ 下标，如果它在 $[i,i+|t|-1]$ 这个区间上，说明它在 $T$ 串对应位置有一个字符 $y$ 需要与它匹配，如果我们把 $[i,i+|t|-1]$ 上的 $j$ 全部替换为 $y$ ，其他字符置为 $0$ 。对所有的 $26$ 个字符都这样处理，他们分别计算的哈希值加起来与 $T$ 的哈希值比较，就可以知道 $S[i,i+|t|-1]$ 是否可以和 $T$ 匹配了。这样对于每个 $i$ 的 $26$ 次计算都是 $\mathcal O(1)$ 的。注意对于同一区间上的字符转换不能有交集，即两个关于 $x$ 的转换 $(x,y),(x,z),y\not=z$ 不能同时存在，代码中用 $vis$ 记录每个字符的转换对象，每个字符的 $vis_j$ 只能被赋值一次。因为比较懒没写双哈希。

$Code:$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 2e5 + 5;

const int base = 131;

const int mod = 19260817;

int sl,tl,nxt[N][26];

ll T_hash,s_hash[N][26],fac[N];

int vis[27];

vector<int>ans;

char s[N],t[N];

int main() {

    scanf("%d %d %s %s",&sl,&tl,s+1,t+1);

    fac[0] = 1;

    for(int i = 1;i <= sl;i++) fac[i] = fac[i-1] * base % mod;

    //预处理出nxt数组，记录i后第一个字符j的下标

    for(int j = 0;j < 26;j++) nxt[sl+1][j] = sl+1;

    for(int i = sl;i >= 1;i--)

        for(int j = 0;j < 26;j++){

            if(s[i] == j+'a') nxt[i][j] = i;

            else nxt[i][j] = nxt[i+1][j];

        }

    //求出T串hash值

    for(int i = 1;i <= tl;i++) T_hash = (T_hash * base + (t[i]-'a') ) % mod;

    //求出S串26个字符分开计算的hash值，注意这里是将为j的字符置为1，其他置为0作哈希，之后有（j,y)的转换乘上y即可（哈希满足乘法分配律）

    for(int i = 1;i <= sl;i++)

        for(int j = 0;j < 26;j++){

            if(s[i] == j+'a') s_hash[i][j] = (s_hash[i-1][j] * base + 1) % mod;

            else s_hash[i][j] = s_hash[i-1][j] * base % mod;

        }

    for(int i = 1;i <= sl-tl+1;i++) {

        ll tot_hash = 0;

        memset(vis,-1,sizeof vis); //-1表示未被赋值过

        for(int j = 0;j < 26;j++){

            int p = nxt[i][j];

            if(p > i + tl - 1) continue;

            int y = t[p-i+1]-'a';     //找到在T串对应位置的字符

            //只有之前x,y都没有被转换过才能赋值

            if(vis[j] == -1 && vis[y] == -1) vis[y] = j,vis[j] = y;

            tot_hash = (tot_hash + vis[j] * ((s_hash[i+tl-1][j] - s_hash[i-1][j] * fac[tl]) % mod + mod) ) % mod;

        }

        if(tot_hash == T_hash) ans.push_back(i);

    }

    printf("%d\n",ans.size());

    for(auto it :ans) printf("%d ",it);

    return 0;

}

$\mathcal O(26*n)$ 的AC自动机匹配

思路来自【题解】Codeforces533F. Encoding 按字符分解，AC自动机。其实与哈希匹配思想是一致的，都是想要找到一种方式可以做到对于每个起点 $i$ ，进行 $26$ 次复杂度只有 $\mathcal O(1)$ 的判断。我们把 $T$ 串分成 $26$ 个 $01$ 串（不计入全 $0$ 串），构建AC自动机。再将 $S$ 串分成 $26$ 个 $01$ 串，在AC自动机上作匹配，每次匹配到一个 $T$ 串末尾，就在该位置标记匹配的字符，对于某个 $i$ ,要求 $T$ 中 $26$ 个字符 $j$ 都能被匹配到末尾（除 $j$ 全 $0$ 串外），才说明该段和 $T$ 匹配。例如：

	原字符串	$a$ 的 $01$ 串	$b$ 的 $01$ 串	$c$ 的 $01$ 串
$S$	$abcab$	$1~0~0~1~0$	$0~1~0~0~1$	$0~0~1~0~0$
$T$	$acbac$	$1~0~0~1~0$	$0~0~1~0~0$	$0~1~0~0~1$

这里 $S$ 的 $a$ 串会匹配到AC自动机上对应 $T$ 的 $a$ 串末端， $S$ 的 $b$ 串会匹配到AC自动机上对应 $T$ 的 $c$ 串末端， $c$ 串会匹配到AC自动机上对应 $T$ 的 $b$ 串末端，其他全为 $0$ 的串不插入AC自动机，所以 $S$ 和 $T$ 是匹配的。

AC自动机构建复杂度是 $\mathcal O (26*n)$ 的，匹配时无需暴力跳fail，对于 $26$ 个串的匹配也是 $\mathcal O (26*n)$ 。

$Code:$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;

int sl,tl,tt[N],en[N*26], match[27];

bool has[27];

char s[N],t[N];

vector<int>ans;

int trie[N*26][2],cnt,fail[N*26],now[26];

void insert(int o){

    int now = 0;

    for (int i = 1,c; i <= tl;i++){

        c = tt[i];

        if(trie[now][c] == 0) trie[now][c] = ++cnt;

        now = trie[now][c];

    }

    en[now] = o;

}

void build(){

    queue<int> q;

    for (int i = 0; i < 2;i++) if(trie[0][i]) q.push(trie[0][i]);

    while(!q.empty()){

        int now = q.front();q.pop();

        for (int i = 0; i < 2;i++){

            if(trie[now][i]){

                q.push(trie[now][i]);

                fail[trie[now][i]] = trie[fail[now]][i];

            }else

                trie[now][i] = trie[fail[now]][i];

        }

    }

}

int main() {

    scanf("%d %d %s %s",&sl,&tl,s+1,t+1);

    memset(en,-1,sizeof en);

    for(int j = 0;j < 26;j++){

        for(int i = 1; i <= tl; i++)

            has[j] |= tt[i] = (t[i] == j + 'a');

        if(has[j]) insert(j); //不是全0串才插入AC自动机

    }

    build();

    for(int i = 1;i <= sl;i++){

        int flag = 0;

        memset(match,-1,sizeof match);

        for(int j = 0;j < 26;j++){

            int c = s[i]-'a';

            now[j] = trie[now[j]][c == j];

            if(en[now[j]] != -1) match[en[now[j]]] = j;//记录T末端字符en[now[j]]匹配到S的字符j

        }

        for(int j = 0;j < 26;j++)

            if(has[j]){

                if(match[j] == -1) {flag = 1;break;}

                int y = match[j];

                //在T串同时含j,y的情况下，match[j]=y,match[y]=j才满足变换后匹配

                if(match[y] != j && has[y]) {flag = 1;break;}

            }

        if(!flag) ans.push_back(i-tl+1);

    }

    printf("%d\n",ans.size());

    for(auto it : ans) printf("%d ",it);

    return 0;

}

这道题可以用多种算法尝试解决，是一道很全面的题目。各算法运行结果如下（空间换时间了）：