【转载】KMP入门级别算法详解--终于解决了(next数组详解)
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对于正常的字符串模式匹配,主串长度为m,子串为n,时间复杂度会到达O(m*n),而如果用KMP算法,复杂度将会减少线型时间O(m+n)。
设主串为ptr="ababaaababaa";,要比较的子串为a=“aab”;
KMP算法用到了next数组,然后利用next数组的值来提高匹配速度,我首先讲一下next数组怎么求,之后再讲匹配方式。
next数组详解
首先是理解KMP算法的第一个难关是next数组每个值的确定,这个问题困恼我很长时间,尤其是对照着代码一行一行分析,很容易把自己绕进去。
定义一串字符串
ptr = "ababaaababaa";
next[i](i从1开始算)代表着,除去第i个数,在一个字符串里面从第一个数到第(i-1)字符串前缀与后缀最长重复的个数。
什么是前缀?
在“aba”中,前缀就是“ab”,除去最后一个字符的剩余字符串。
同理可以理解后缀。除去第一个字符的后面全部的字符串。
在“aba”中,前缀是“ab”,后缀是“ba”,那么两者最长的子串就是“a”;
在“ababa”中,前缀是“abab”,后缀是“baba”,二者最长重复子串是“aba”;
在“abcabcdabc”中,前缀是“abcabcdab”,后缀是“bcabcdabc”,二者最长重复的子串是“abc”;
这里有一点要注意,前缀必须要从头开始算,后缀要从最后一个数开始算,中间截一段相同字符串是不行的。
再回到next[i]的定义,对于字符串ptr = "ababaaababaa";
next[1] = -1,代表着除了第一个元素,之前前缀后缀最长的重复子串,这里是空 ,即"",没有,我们记为-1,代表空。(0代表1位相同,1代表两位相同,依次累加)。
next[2] = -1,即“a”,没有前缀与后缀,故最长重复的子串是空,值为-1;
next[3] = -1,即“ab”,前缀是“a”,后缀是“b”,最长重复的子串“”;
next[4] = 1,即"aba",前缀是“ab”,后缀是“ba”,最长重复的子串“a”;next数组里面就是最长重复子串字符串的个数
next[5] = 2,即"abab",前缀是“aba”,后缀是“bab”,最长重复的子串“ab”;
next[6] = 3,即"ababa",前缀是“abab”,后缀是“baba”,最长重复的子串“aba”;
next[7] = 1,即"ababaa",前缀是“ababa”,后缀是“babaa”,最长重复的子串“a”;
next[8] = 1,即"ababaaa",前缀是“ababaa”,后缀是“babaaa”,最长重复的子串“a”;
next[9] = 2,即"ababaaab",前缀是“ababaaa”,后缀是“babaaab”,最长重复的子串“ab”;
next[10] = 3,即"ababaaaba",前缀是“ababaaab”,后缀是“babaaaba”,最长重复的子串“aba”;
next[11] = 4,即"ababaaabab",前缀是“ababaaaba”,后缀是“babaaabab”,最长重复的子串“abab”;
next[12] = 5,即"ababaaababa",前缀是“ababaaabab”,后缀是“babaaaababa”,最长重复的子串“ababa”;
还有另外一种方法,我看的有的书上写着:
这里我们定义next[1] = 0 , next[1] = 1;
再分析ptr字符串,ptr = "ababaaababaa";
跟上一个的情况类似,
next[1] = 0 ,事先定义好的
next[2] = 1 ,事先定义好的
next[3] = 1 ,最长重复的子串“”;1代表没有重复,2代表有一个字符重复。
next[4] = 2 ,最长重复的子串“a”;追偿的长度加1,即为2.
next[5] = 3 ,以下都跟之前的一样,这种方法是最长的长度再加上一就可以了。
next[6] = 4
next[7] = 2
next[8] = 2
next[9] = 3
next[10] = 4
next[11] = 5
next[12] = 6
以上是next数组的详细解释。next数组求值 是比较麻烦的,剩下的匹配方式就很简单了。
next数组用于子串身上,根据上面的原理,我们能够推出子串a=“aab”的next数组的值分别为0,1,2.(按照我说的第二种方式算的)。
首先开始计算主串与子串的字符,设置主串用i来表示,子串用j来表示,如果ptr[i]与a[i]相等,那么i与j就都加1:
prt[1]与a[1]相等,i++,j++:
用代码实现就是
- if( j==0 || ptr[i]==a[j])
- {
- ++i;
- ++j;
- }
ptr[2]与a[2]不相等
此时ptr[2]!=a[2],那么令j = next[j],此时j=2,那么next[j] = next[2] = 1.那么此时j就等于1.这一段判断用代码解释的话就是:
- if( ptr[i]!=a[j])
- {
- j = next[j];
- }
加上上面的代码进行组合:
在对两个数组进行比对时,各自的i,j取值代码:
- <span style="font-size:18px;">while( i<ptr.length && j< a.length)
- {
- if( j==0 || ptr[i]==a[i] )
- {
- ++i;
- ++j;</span>
- <span style="font-size:18px;"> next[i] = j;
- }
- else
- {
- j = next[j];
- }
- }</span>
此时将a[j]置于j此时所处的位置,即a[1]放到j=2处,因为在j=2时出现不匹配的情况。
此时再次计算是否匹配,可以看出来a[1]!=ptr[2],那么j = next[j],即此时j = next[1] = 0;
根据上面的代码,当j=0时,执行++i;++j;
此时就变为:
此时ptr[3] = a[1],继续向下走,下一个又不相等了,然后“aab”向后挪一位,这里不再赘述了,主要的思想已经讲明白了。到最后一直到i = 8,j=3时匹配成功,KMP算法结束。整个过程就结束了。
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