min_25筛题目总结

看了网上众多博客后，我才发现，实现min_25只有脑子，没有代码。

当然可能是我太ruo了。

min_25是一种想法，不是算法。

不要尝试套模板，因为很多题目并没有什么用。

最重要的一点，g不要看成是函数，而是埃式筛第j轮后的剩下的数的F之和；S看成dp来做，也不要记忆化。

1.求[1,n]中素数个数。n≤1E11

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long int ll;

 const ll maxn=1E6+;

 ll n,prime[maxn],size,sqr,back[maxn],m,g[maxn],id1[maxn],id2[maxn];

 bool vis[maxn];

 void init(ll n)

 {

     for(int i=;i<=n;++i)

     {

         if(!vis[i])prime[++size]=i;

         for(int j=;j<=size&&i*prime[j]<=n;++j)

         {

             vis[i*prime[j]]=;

             if(i%prime[j]==)break;

         }

     }

 }

 void put(ll x,int y)

 {

     if(x<=sqr)id1[x]=y;

     else id2[n/x]=y;

 }

 int where(ll x)

 {

     if(x<=sqr)return id1[x];

     else return id2[n/x];

 }

 int main()

 {

     ios::sync_with_stdio(false);

     cin>>n;

     sqr=sqrt(n)+;

     init(sqr);

     for(ll i=,j;i<=n;i=j+)

     {

         back[++m]=n/i;

         j=n/back[m];

         put(n/i,m);

         g[m]=back[m]-;

     }

     for(int j=;j<=size;++j)

     {

         ll limit=prime[j]*prime[j];

         for(int i=;back[i]>=limit;++i)

         {

             int k=where(back[i]/prime[j]);

             g[i]+=j--g[k];

         }

     }

     cout<<g[]<<endl;

     return ;

 }

2.求[1,n]中素数个数和。n≤1E11

 #include<bits/stdc++.h>

 #define mod 1000000007

 #define G 500000004

 using namespace std;

 typedef long long int ll;

 const ll maxn=1E6+;

 ll prime[maxn],size,id1[maxn],id2[maxn],m,n,back[maxn],sumF[maxn],sqr,g[maxn];

 bool vis[maxn];

 void put(ll x,ll y)

 {

     if(x<=sqr)id1[x]=y;

     else id2[n/x]=y;

 }

 ll where(ll x)

 {

     if(x<=sqr)return id1[x];

     else return id2[n/x];

 }

 ll sum(ll n)

 {

     return (n*(n+)%mod*G-+mod)%mod;

 }

 void init(int n)

 {

     for(int i=;i<=n;++i)

     {

         if(!vis[i])prime[++size]=i,sumF[size]=(sumF[size-]+i)%mod;

         for(int j=;j<=size&&i*prime[j]<=n;++j)

         {

             vis[i*prime[j]]=;

             if(i%prime[j]==)break;

         }

     }

 }

 void calc()

 {

     for(int j=;j<=size;++j)

     {

         ll limit=prime[j]*prime[j];

         for(int i=;back[i]>=limit;++i)

         {

             int k=where(back[i]/prime[j]);

             g[i]=(g[i]-prime[j]*(g[k]-sumF[j-])%mod+mod)%mod;

         }

     }

 }

 void make()

 {

     for(ll i=,j;i<=n;i=j+)

     {

         back[++m]=n/i;

         j=n/back[m];

         put(n/i,m);

         g[m]=sum(n/i);

     }

 }

 int main()

 {

     ios::sync_with_stdio(false);

     cin>>n;

     sqr=sqrt(n)+;

     init(sqr);

     make();

     calc();

     cout<<g[]<<endl;

     return ;

 }

3.loj6053（目前不知为何会爆long long，也许是其他原因？）

 #include<bits/stdc++.h>

 #define mod 1000000007

 #define G 500000004

 using namespace std;

 typedef long long int ll;

 const ll maxn=1E6+;

 ll g1[maxn],g2[maxn],back[maxn],id1[maxn],id2[maxn],n,m,sqr,size,prime[maxn],sumPrime[maxn];

 bool vis[maxn];

 void init(ll n)

 {

     for(ll i=;i<=n;++i)

     {

         if(!vis[i])prime[++size]=i,sumPrime[size]=(sumPrime[size-]+i)%mod;

         for(ll j=;j<=size&&prime[j]*i<=n;++j)

         {

             vis[prime[j]*i]=;

             if(i%prime[j]==)break;

         }

     }

 }

 void put(ll x,ll y)

 {

     if(x<=sqr)id1[x]=y;

     else id2[n/x]=y;

 }

 ll where(ll x)

 {

     if(x<=sqr)return id1[x];

     else return id2[n/x];

 }

 ll sum2(ll n){return ((n+)*n%mod*G%mod-+mod)%mod;}

 void make()

 {

     for(ll i=,j;i<=n;i=j+)

     {

         back[++m]=n/i;

         j=n/back[m];

         put(n/i,m);

         g1[m]=(back[m]-+mod)%mod;

         g2[m]=sum2(back[m]);

     }

 }

 void calc1()

 {

     for(ll j=;j<=size;++j)

     {

         ll limit=prime[j]*prime[j];

         for(ll i=;back[i]>=limit;++i)

         {

             ll k=where(back[i]/prime[j]);

             g1[i]=(g1[i]-g1[k]+j-+mod)%mod;

         }

     }

 }

 void calc2()

 {

     for(ll j=;j<=size;++j)

     {

         ll limit=prime[j]*prime[j];

         for(ll i=;back[i]>=limit;++i)

         {

             ll k=where(back[i]/prime[j]);

             g2[i]=(g2[i]-prime[j]*(((g2[k]-sumPrime[j-])%mod+mod)%mod)%mod+mod)%mod;

         }

     }

 }

 ll S(ll n,ll j)

 {

     ll k,sum=;

     if(n<=||prime[j]>n)return ;

     k=where(n);

     sum=(g2[k]-sumPrime[j-]-g1[k]+j-+mod)%mod;

     if(j==)sum=(sum+)%mod;

     for(ll i=j;i<=size&&prime[i]*prime[i]<=n;++i)

         for(ll e=,s=prime[i]*prime[i];s<=n;s*=prime[i],++e)

             (sum+=(prime[i]^e)*S(n*prime[i]/s,i+)%mod+(prime[i]^(e+))%mod)%=mod;

     return sum;

 }

 int main()

 {

     ios::sync_with_stdio(false);

     cin>>n;

     if(n==){cout<<<<endl;return ;}

     if(n==){cout<<<<endl;return ;}

     sqr=sqrt(n)+;

     init(sqr);

     make();

     calc1();

     calc2();

     cout<<(S(n,)+)%mod;

     return ;

 }

4.求[1,n]中phi的和。保证结果不超过long long。

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long int ll;

 const ll maxn=1E6+;

 ll back[maxn],id1[maxn],id2[maxn],n,m,size,prime[maxn],sqr,sumPrime[maxn];

 ll g1[maxn],g2[maxn];

 bool vis[maxn];

 void put(ll x,ll y)

 {

     if(x<=sqr)id1[x]=y;

     else id2[n/x]=y;

 }

 ll where(ll x)

 {

     if(x<=sqr)return id1[x];

     else return id2[n/x];

 }

 void init(ll s)

 {

     for(int i=;i<=s;++i)

     {

         if(!vis[i])prime[++size]=i,sumPrime[size]=sumPrime[size-]+i;

         for(int j=;j<=size&&prime[j]*i<=s;++j)

         {

             vis[prime[j]*i]=;

             if(i%prime[j]==)break;

         }

     }

     for(ll i=,j;i<=n;i=j+)

     {

         back[++m]=n/i;

         j=n/back[m];

         put(n/i,m);

         g1[m]=n/i-;

         g2[m]=(back[m]+)*back[m]/-;

     }

 }

 void calc1()

 {

     for(int j=;j<=size;++j)

     {

         ll limit=prime[j]*prime[j];

         for(int i=;back[i]>=limit;++i)

         {

             int k=where(back[i]/prime[j]);

             g1[i]-=g1[k]-j+;

         }

     }

 }

 void calc2()

 {

     for(int j=;j<=size;++j)

     {

         ll limit=prime[j]*prime[j];

         for(int i=;back[i]>=limit;++i)

         {

             int k=where(back[i]/prime[j]);

             g2[i]-=prime[j]*(g2[k]-sumPrime[j-]);

         }

     }

     for(int i=;i<=m;++i)g2[i]-=g1[i];

 }

 ll S(ll n,ll j)

 {

     if(n<prime[j])return ;

     int k=where(n);

     ll sum=g2[k]-sumPrime[j-]+j-;

     for(ll i=j;prime[i]*prime[i]<=n;++i)

         for(ll e=,s=prime[i]*prime[i],ans=(prime[i]-);s<=n;s*=prime[i],ans*=prime[i],++e)

             sum+=ans*S(n*prime[i]/s,i+)+ans*prime[i];

     return sum;

 }

 int main()

 {

     ios::sync_with_stdio(false);

     cin>>n;

     sqr=sqrt(n)+;

     init(sqr);

     calc1();

     calc2();

     cout<<S(n,)+<<endl;

     return ;

 }

5.求[1,n]中mu的和。

考虑到mu函数中若指数大于等于2，就为0了，所以在S函数中不需要枚举指数。

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long int ll;

 const ll maxn=1E6+;

 ll back[maxn],id1[maxn],id2[maxn],n,m,size,prime[maxn],sqr;

 ll g[maxn];

 bool vis[maxn];

 void put(ll x,ll y)

 {

     if(x<=sqr)id1[x]=y;

     else id2[n/x]=y;

 }

 ll where(ll x)

 {

     if(x<=sqr)return id1[x];

     else return id2[n/x];

 }

 void init(ll s)

 {

     for(int i=;i<=s;++i)

     {

         if(!vis[i])prime[++size]=i;

         for(int j=;j<=size&&prime[j]*i<=s;++j)

         {

             vis[prime[j]*i]=;

             if(i%prime[j]==)break;

         }

     }

     for(ll i=,j;i<=n;i=j+)

     {

         back[++m]=n/i;

         j=n/back[m];

         put(n/i,m);

         g[m]=n/i-;

     }

 }

 void calc()

 {

     for(int j=;j<=size;++j)

     {

         ll limit=prime[j]*prime[j];

         for(int i=;back[i]>=limit;++i)

         {

             int k=where(back[i]/prime[j]);

             g[i]-=g[k]-j+;

         }

     }

 }

 ll S(ll n,ll j)

 {

     if(n<prime[j])return ;

     int k=where(n);

     ll sum=g[k]-j+;

     for(ll i=j;prime[i]*prime[i]<=n;++i)

         sum+=-S(n/prime[i],i+);

     return sum;

 }

 int main()

 {

     ios::sync_with_stdio(false);

     cin>>n;

     sqr=sqrt(n)+;

     init(sqr);

     calc();

     cout<<-S(n,)+<<endl;

     return ;

 }

ATTENTION：筛的质数个数一定要开大一点！不然可能会有一些特别的边界来卡掉。

6.积性函数f(p^k)=(p^k(p^k-1))，求前缀和。

把质数拆成p²-p，算出质数前缀和和质数平方前缀和，然后合并一下。

 #include<bits/stdc++.h>

 #define mod 1000000007

 #define G 166666668

 #define Gi 500000004

 using namespace std;

 typedef long long int ll;

 const ll maxn=1E6+;

 ll n,m,id1[maxn],id2[maxn],sqr,back[maxn],g1[maxn],g2[maxn];

 ll sumPrimeS[maxn],prime[maxn],Size,sumPrime[maxn];

 bool vis[maxn];

 ll qpow(ll x,ll y)

 {

     ll ans=,base=x;

     while(y)

     {

         if(y&)ans=ans*base%mod;

         base=base*base%mod;

         y>>=;

     }

     return ans;

 }

 void put(ll x,ll y)

 {

     if(x<=sqr)id1[x]=y;

     else id2[n/x]=y;

 }

 ll where(ll x)

 {

     if(x<=sqr)return id1[x];

     else return id2[n/x];

 }

 void init(ll q)

 {

     for(ll i=;i<=q;++i)

     {

         if(!vis[i])

         {

             prime[++Size]=i;

             sumPrime[Size]=(sumPrime[Size-]+i)%mod;

             sumPrimeS[Size]=(sumPrimeS[Size-]+i*i%mod)%mod;

         }

         for(ll j=;j<=Size&&prime[j]*i<=q;++j)

         {

             vis[i*prime[j]]=;

             if(i%prime[j]==)break;

         }

     }

     for(ll i=,j;i<=n;i=j+)

     {

         back[++m]=n/i;

         j=n/back[m];

         put(n/i,m);

         g1[m]=((back[m]+)%mod*back[m]%mod*Gi%mod-+mod)%mod;

         g2[m]=(back[m]%mod*(back[m]+)%mod*(back[m]*%mod+)%mod*G%mod-+mod)%mod;

     }

 }

 void calc1()

 {

     for(ll j=;j<=Size;++j)

     {

         ll limit=prime[j]*prime[j];

         for(ll i=;back[i]>=limit;++i)

         {

             ll k=where(back[i]/prime[j]);

             g1[i]=(g1[i]-((g1[k]-sumPrime[j-]+mod)%mod)*prime[j]%mod+mod)%mod;

         }

     }

 }

 void calc2()

 {

     for(ll j=;j<=Size;++j)

     {

         ll limit=prime[j]*prime[j];

         for(ll i=;back[i]>=limit;++i)

         {

             ll k=where(back[i]/prime[j]);

             g2[i]=(g2[i]-((g2[k]-sumPrimeS[j-]+mod)%mod)*prime[j]%mod*prime[j]%mod+mod)%mod;

         }

     }

 }

 ll S(ll n,ll j)

 {

 //    cout<<n<<' '<<j<<endl;

     if(n<prime[j])return ;

     ll k=where(n);

     ll sum=(g1[k]-sumPrimeS[j-]+sumPrime[j-]+mod)%mod;

     for(ll i=j;prime[i]*prime[i]<=n;++i)

         for(ll e=,s=prime[i],ans=prime[i];s<=n;++e,s*=prime[i],ans=ans*prime[i]%mod)

         {

             sum=(sum+S(n/s,i+)*ans%mod*(ans-)%mod)%mod;

             if(e!=)sum=(sum+ans*(ans-)%mod)%mod;

         }

     return sum;

 }

 int main()

 {

     ios::sync_with_stdio(false);

     cin>>n;

     sqr=sqrt(n)+;

     init(sqr);

     calc1();

     calc2();

     for(ll i=;i<=m;++i)

         g1[i]=(g2[i]-g1[i]+mod)%mod;

     cout<<S(n,)+<<endl;

     return ;

 }

https://www.luogu.org/problemnew/show/P5325

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