【01】团饱和图:(一)EHM定理
团饱和图:(一)EHM定理
据A. Hajnal考证,术语“饱和性”,即saturation,最早由前苏联数学家A. A. Zykov在1949年引入,用于研究线性复形,但是他的工作并没有引起图论学家的足够关注.1961年,P. Erdos和T. Gallai在研究顶点覆盖问题时提出了一个猜想,而这个猜想事实上使用了图饱和数的概念(但并没有使用该术语),这个猜想在1964年被P. Erdos,A. Hajnal和J. W. Moon证明,我们称为EHM定理.随后在1965年,A. Hajnal借鉴了Zykov使用的术语“饱和性”,定义了图的饱和性.其相关概念如下.
设\(F\)和\(G\)是两个简单图,并且\(v(F)\le v(G)\).如果\(G\)不包含同构于\(F\)的子图,那么则称\(G\)是\(F\)-自由的.如果\(G\)是\(F\)-自由的,但对任意\(e\not\in E(G)\),\(G+e\)总是包含\(F\)的一个拷贝,则称\(G\)是\(F\)-饱和的.\(F\)-饱和的\(n\)阶简单图的最少边数称为\(F\)关于\(n\)的饱和数,记作\(sat(n,F)\).所有\(F\)-饱和的、顶点数为\(n\)、边数为\(sat(n,F)\)的简单图的集合记作\(Sat(n,F)\).
设\(G\)是\(F\)-自由的.
- 那么,我们总是默认\(v(F)\le v(G)\)且\(v(F)\ge2\).
- 当\(v(F)=2\)时,\(G\)是平凡的.一般我们考虑\(v(F)\ge3\)的情况.
本节研究\(F=K_s\)的情况,也就是\(K_s\)-饱和图,这种图也称为团饱和图.团饱和图有一些很显然的特性,我们总结为如下引理.
引理 1.1 设\(n\)阶图\(G\)是\(K_s\)-饱和的且\(s\ge3\).那么,
- \(\delta(G)\ge s-2\).
- 对任意\(v\in V(G)\),\(N(v)\)中存在至少一个\((s-2)\)-团.
- 对任意\(v\in V(G)\),\(V(G)\)可以剖分为三个部分:\(\{v\}\cup N(v)\cup N_2(v)\).
- 对任意\(v\in V(G)\),\(u\in N_2(v)\),\(N(v)\cap N(u)\)包含一个\((s-2)\)-团.\(\blacksquare\)
实际上,Erdos和Gallai在1961年提出的猜想正是关于团饱和图.这个猜想在1964年被P. Erdos,A. Hajnal和J. W. Moon证明了,我们不妨称之为EHM定理.
定理 1.2(EHM定理) 令\(2\le s\le n\),那么
- \(sat(n,K_s)=(s-2)n-\binom{s-1}{2}\);
- \(Sat(n,K_s)=\{K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}\}\).
证明 (1) 当\(s=n\)时,显然有\(sat(n,K_n)=\binom{n}{2}-1=(n-2)n-\binom{n-1}{2}\).以下不妨设\(s<n\).设\(G\)是一个最小的\(n\)阶\(K_s\)-饱和图.那么存在\(u,v\in V(G)\),使得\(uv\not\in E(G)\),并且存在一个既与\(u\)相邻也与\(v\)相邻的\((s-2)\)-团.令\(G'=G/\{u,v\}\),则\(G'\)是\((n-1)\)阶\(K_s\)-饱和图,所以\(e(G')\ge sat(n-1,K_s)\),所以\(sat(n,K_s)=e(G)\ge e(G')+(s-2)\ge sat(n-1,K_s)+(s-2)\).
将之累加可得:
\[sat(n,K_s)\ge sat(s,K_s)+(n-s)(s-2)\\
=\binom{s}{2}-1+(n-s)(s-2)\\
=(s-2)n-\binom{s-1}{2}.\]
另一方面,\(K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}\)恰是一个边数为\((s-2)n-\binom{s-1}{2}\)的\(n\)阶\(K_s\)-饱和图,所以\[sat(n,K_s)=(s-2)n-\binom{s-1}{2}.\]
(2) 设\(G\)是一个边数为\((s-2)n-\binom{s-1}{2}\)的\(n\)阶\(K_s\)-饱和图,以下只需证明\(G\cong K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}\).由于\(s=2\)时结论显然成立,以下不妨设\(s\ge 3\).
对\(n\)作归纳.当\(n=s\)时,结论显然成立.假定\(n\)较小时结论成立,现在考虑\(n\)的情况.因为\(G\)是一个\(n\)阶\(K_s\)-饱和图,所以存在\(u,v\in V(G)\),使得\(uv\not\in E(G)\),并且存在一个既与\(u\)相邻也与\(v\)相邻的\((s-2)\)-团.令\(G'=G/\{u,v\}\),则\(G'\)是\((n-1)\)阶\(K_s\)-饱和图,且\[e(G')=e(G)-(s-2)=(s-2)(n-1)-\binom{s-1}{2}.\]
由归纳假设知,\(G'\cong K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+1}}\),所以有\(G\cong K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}\).\(\blacksquare\)
EHM定理的结论虽然很漂亮,但是也有一个缺憾:我们只是知道边数最少的\(K_s\)-饱和图是什么样子,但是不知道普通的\(K_s\)-饱和图是什么样.后面几节我们就来讨论普通的\(K_s\)-饱和图具有什么结构.
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