[POJ3233]Matrix Power Series 分治+矩阵

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[POJ3233]Matrix Power Series 分治+矩阵

题目大意

A为n×n(n<=30)的矩阵，让你求

\(\sum\limits_{i=1}^{k}A^i\)

并将答案对取模p

输入格式：

有多组测试数据，其中第一行有3个正整数，为n,k(k<=\(10^9\)),p(p<=\(10^4\))

后面有n行，每行n个数。

输出格式：

输出最后答案的矩阵。

输入输出样例

input

2 2 4

0 1

1 1

output

1 2

2 3

解题分析

首先，这道题k有10^9，肯定不能O(n)推过去，但我们发现这个随着k递增ans是严格递增的，并且满足一定的规律，在这里我们想到了分治。

我们先取答案的一半，尝试怎么凑出这个答案

我们让 \(a=\sum\limits_{i=1}^{k\over2}A^i,b=A^{k\over2}\)

我们发现，

如果 $k\mod2==0 $ 则

\(\sum\limits_{i=1}^{k}A^i=\sum\limits_{i=1}^{k\over2}A^i+\sum\limits_{i={k\over2}+1}^{k}A^i=\sum\limits_{i=1}^{k\over2}A^i+(\sum\limits_{i=1}^{k\over2}A^i*A^{k\over2})=a+a*b\)

怎么理解呢，可以认为我们用\(A^{k\over2}\)将\(\sum\limits_{i=1}^{k\over2}A^i\)的指数补成\(\sum\limits_{i={k\over2}+1}^{k}A^i\)。

所以，我们可以很容易推出当k为奇数的情况，只要将最后一位补上就可以。

\(\sum\limits_{i=1}^{k}A^i=\sum\limits_{i=1}^{k\over2}A^i+(\sum\limits_{i=1}^{k\over2}A^i*A^{k\over2})+A^k=a+a*b+b^2*A\)

这样，就可以在\(O(log_2n)\)出解了。

矩阵乘法加法就不多说了。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <climits>
#define MAXN 50+10

using namespace std;
int p,n,k;
struct matrix{
	int n,m;
	int data[MAXN][MAXN];
	void read(int x,int y)
	{
		n=x,m=y;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=m;j++)
				scanf("%d",&data[i][j]);
	}
	void print()
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=m;j++)
				printf("%d ",data[i][j]);
			printf("\n");
		}
	}
	matrix operator * (matrix b)
	{
		matrix ans;
		memset(ans.data,0,sizeof(ans.data));
		ans.n=n;ans.m=b.m;
		for(int i=1;i<=ans.n;i++) for(int j=1;j<=ans.m;j++) for(int k=1;k<=m;k++)
					ans.data[i][j]+=data[i][k]*b.data[k][j],ans.data[i][j]%=p;
		return ans;
	}
	matrix operator + (matrix b)
	{
		matrix ans;
		memset(ans.data,0,sizeof(ans.data));
		ans.n=n;ans.m=m;
		for(int i=1;i<=ans.n;i++) for(int j=1;j<=ans.m;j++)
					ans.data[i][j]=(data[i][j]+b.data[i][j])%p;
		return ans;
	}
}a,b,c,z;
void halfsort(matrix x,int y)
{
	if(y==1) {c=x;b=x;return ;}
	else
	{
		halfsort(x,y/2);
		if(y%2==0)
		{
			b=b+(b*c);
			c=c*c;
		}else
		{
			b=b+(b*c);
			b=b+(x*c*c);
			c=c*c;c=c*x;
		}
	}
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&p)!=EOF)
    {
        a=z;b=z;c=z;
	a.read(n,n);
	halfsort(a,k);
	b.print();
    }
    return 0;
}