卡塔兰数(Catalan)
卡塔兰数(Catalan)
原理:
令h(0)=1,h(1)=1。
卡塔兰数满足递推式:h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)(n>=2)
比如:
h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式:h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为:
h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)
(注:c(2n,n)=(2n)!/[((n!)*(2n-n)!)] )
算法实现1:
//函数功能: 计算Catalan的第n项
//函数參数: n为项数
//返回值: 第n个Catalan数
int Catalan(int n)
{
if(n <= 1)
return 1; h[0] = h[1] = 1; //h(0)和h(1)
for(int i = 2; i <= n; i++) //依次计算h(2),h(3)...h(n)
{
h[i]=0;
for(int j=0;j<i;j++) //依据递归式计算 h(i)= h(0)*h(i-1)+h(1)*h(i-2) + ... + h(i-1)h(0)
h[i]+=(h[j]*h[i-1-j]);
}
int result = h[n]; //保存结果
return result;
}
算法实现2:
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int main ()
{
int i,j,n;
__int64 a[40][40];
while(~scanf("%d",&n)&&n!=-1)
{
memset(a,0,sizeof(a));
for(j=0;j<=n;j++)
a[0][j]=1; for(i=1;i<=n;i++)
for(j=i;j<=n;j++)
a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];
printf("%I64d\n",a[n][n]);
}
return 0;
}
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