BZOJ 1705: [Usaco2007 Nov]Telephone Wire 架设电话线 DP + 优化 + 推导

Description

最近，Farmer John的奶牛们越来越不满于牛棚里一塌糊涂的电话服务 于是，她们要求FJ把那些老旧的电话线换成性能更好的新电话线。 新的电话线架设在已有的N(2 <= N <= 100,000)根电话线杆上， 第i根电话线杆的高度为height_i米(1 <= height_i <= 100)。 电话线总是从一根电话线杆的顶端被引到相邻的那根的顶端 如果这两根电话线杆的高度不同，那么FJ就必须为此支付 C*电话线杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。当然，你不能移动电话线杆， 只能按原有的顺序在相邻杆间架设电话线。Farmer John认为 加高某些电话线杆能减少架设电话线的总花费，尽管这项工作也需要支出一定的费用。 更准确地，如果他把一根电话线杆加高X米的话，他得为此付出X^2的费用。 请你帮Farmer John计算一下，如果合理地进行这两种工作，他最少要在这个电话线改造工程上花多少钱。

Input

* 第1行: 2个用空格隔开的整数：N和C

* 第2..N+1行: 第i+1行仅有一个整数：height_i

Output

* 第1行: 输出Farmer John完成电话线改造工程所需要的最小花费

题解：

首先，加高后的最高高度一定不大于当前最高高度.

$f[i][j]$ 表示第 $i$ 个柱子高度为 $j$ 时的最小花费.

$f[i][j]=(j-h[i])^{2}+min(f[i-1][k]+c\times \left | k-j \right |)$

绝对值符号有些不好处理，再把转移方程拆一下：

$f[i][j]=(j-h[i])^{2}+min(f[i-1][k]-c\times k)$ ,$k<=j$

$f[i][j]=(j-h[i])^{2}+min(f[i-1][k]+c\times k)$, $k>=j$

不难看出，对于 $f[i][j]$ 来说， $(j-h[i])^{2}$ 是固定的，直接算即可.

我们设 $min1[i][j]$ 为 $k<=j$ 时 $f[i][k]-c\times k$ 的最小值.

不难得出 : $min1[i][j]=min(min1[i][j-1], f[i][j]-c\times j)$

而 $f[i][j]=(j-h[i])^{2}+min1[i-1][j]$.

于是，我们用下标为 $i-1$ 的答案来更新当前下标为 $i$ 的答案，再用当前的 $f[i][j]$ 来更新下标为 $i$ 的 $min1[i][j]$ 即可，每次转移时

$O(1)$ 的。

  

#include<bits/stdc++.h>
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define Max(a,b) (a=a>b?a:b)
#define Min(a,b) (a=a<b?a:b)
using namespace std;
int f[103],h[100003],min1[103],min2[103];
int main()
{
	// setIO("input");
	int n,c,maxv=0;
	scanf("%d%d",&n,&c);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&h[i]),Max(maxv,h[i]);
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=h[1];i<=maxv;++i) f[i]=(i-h[1])*(i-h[1]);
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		memset(min1,0x3f,sizeof(min1));
		memset(min2,0x3f,sizeof(min2));
		for(int j=h[i-1];j<=maxv;++j)
			min1[j]=min(min1[j-1],f[j]-c*j);
		for(int j=maxv;j>=1;--j)
			min2[j]=min(min2[j+1],j>=h[i-1]?f[j]+c*j:0x3f3f3f3f);
		for(int j=h[i];j<=maxv;++j)
			f[j]=(j-h[i])*(j-h[i])+min(min1[j]+c*j,min2[j]-c*j);
	}
	int ans=0x3f3f3f3f;
	for(int i=h[n];i<=maxv;++i) ans=min(ans,f[i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}