今天所说的就是常用的解决最短路径问题最后一个算法,这个算法同样是求连通图中单源点到其他结点的最短路径,功能和Bellman-Ford算法大致相同,可以求有负权的边的图,但不能出现负回路。但是SPFA算法的时间复杂度是O(kE),k是常数,平均值为2,E是边数。我们可以看到SPFA算法的时间复杂度远远低于Bellman-Ford算法,因此常常选择此算法而不是Bellman算法(虽然其复杂度没有被严格的数学证明)。

简单的说SPFA是将Bellman-Ford算法结合了队列的实现,从而减少了很多冗余的计算。

文字描述如下:初始时将起点加入队列。每次从队列中取出一个元素,并对所有与它相邻的点进行修改,若某个相邻的点修改成功,则将其入队。直到该队列为空时算法结束。

伪代码描述:

dis[i]记录起点s到i的最短路径,m[i][j]记录连接i、j边的长度,pre[v]记录前驱结点。

t[1..n]为队列,头指针是head,尾指针为tail。

布尔数组 e[1..n]记录一个点是否现在存在在队列当中。

初始化:dis[s]=0,dis[v]=∞,memset(e,false,sizeof(e));

起点入队t[1]=s;head=0;tail=1;e[s]=true;

do

{

1.头指针向下移,取出点u。

2.e[u]=false;已经被取出队列。

3.for所有与u相连的点v

if(dis[v]>dis[u]+m[u][v]){

dis[v]=dis[u]+m[u][v];

pre[v]=u;

if(!e[v])// v不在队列中,v入队

{

尾指针下移,v入队;

e[v]=true;

}

}

}while(head<tail);

注意点:

1.因为队列的大小不可知并且容易超过预计,所以采用循环队列的思想,即队列长度不需要开的很大。

2.算法感觉和广搜类似,但是与广搜不同的是,广搜出列的元素不会在入列,而这里会根据需要一直调整队列中的元素。

具体代码将在下一题中运用到,这里就不专门写了。

3.在枚举所有点的那一步中,前提使用邻接表储存的图之后在枚举才行,否则时间复杂度将没有提升。

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