bzoj 2655 calc——拉格朗日插值
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2655
先考虑DP。dp[ i ][ j ]表示值域为 i 、选 j 个值的答案,则 dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ] + dp[ i-1 ][ j-1] * i * j 。两项分别表示一定不选/一定选第 i 个值。
因为答案是值域大、个数小,所以考虑只看 dp[ ][ n ] ,即把值域看成自变量。
不知怎么知道这个式子的次数是 2*n 。尝试用做几遍差分看什么时候数列都为0的方法来看,但得出应该是 2*n - 2 次才对呀……
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=,K=,M=;
ll dp[M][M],c[M];
int pw(int x,int k)
{
int ret=;while(k){if(k&)ret*=x;x*=x;k>>=;}return ret;
}
int main()
{
dp[][]=;
for(int i=;i<=K;i++)
for(int j=;j<=N;j++)
dp[i][j]=dp[i-][j]+dp[i-][j-]*i*j;
for(int i=N;i<=K;i++)c[i]=dp[i][N];
int cnt=,nw=N;
while(c[K])
{
for(int i=K;i>=nw;i--)
c[i]-=c[i-]; c[nw-]=;
for(int i=;i<=K;i++)
printf("%6lld ",c[i]); puts("");
nw++; cnt++;
}
printf("cnt=%d\n",cnt);
return ;
}
打表观察
以为值域<个数的dp无意义,于是选择 n~3*n 这 2*n+1 个值。但其实值域<个数的也能用。
注意 x[ i ] - x[ j ] 有负数,最后(答案+mod)%mod。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=;
int n,A,mod,dp[N*][N],ans;
int pw(int x,int k)
{
int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&A,&n,&mod);
int lm=n*;
for(int i=;i<=lm;i++)dp[i][]=;///
for(int i=;i<=lm;i++)
for(int j=;j<=i&&j<=n;j++)
dp[i][j]=(dp[i-][j]+(ll)dp[i-][j-]*i%mod*j)%mod;
if(A<=lm)
{
printf("%d\n",dp[A][n]);return ;
}
int s0,s1;
for(int i=n;i<=lm;i++)
{
s0=; s1=;//////
for(int j=n;j<=lm;j++)
{
if(j==i)continue;
s0=(ll)s0*(A-j)%mod; s1=(ll)s1*(i-j)%mod;
}
ans=(ans+(ll)s0*pw(s1,mod-)%mod*dp[i][n]%mod)%mod;
}
printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
return ;
}
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