dilworth定理的通俗讲解
度娘定义:在数学理论中的序理论与组合数学中,Dilworth定理根据序列划分的最小数量的链描述了任何有限偏序集的宽度。其名称取自数学家Robert P. Dilworth。
另一种Dilworth定理的等价表述是:在有穷偏序集中,任何反链最大元素数目等于任何将集合到链的划分中链的最小数目。一个关于无限偏序集的理论指出,在此种情况下,一个偏序集具有有限的宽度w,当且仅当它可以划分为最少w条链。
归纳性证明
可以被k个不相交的链
覆盖,且最少存在一个大小为k的反链
。显然,
,
。令
为
的极大值,
,
为
中大小为k的反链,令
,
为包含
的大小为k的反链。确定任意不等的索引
,那么
。令
,根据
的定义,
。因此,由
推断出
。通过交换
,可以得到
。由此得证,A为反链。
,
。令K为链
。那么,通过选择
,使得
不包含大小为k的反链。由于
是
中大小为k-1的反链,归纳推出
可以被k-1个不相交的链覆盖。因此,正如所需要证明的,P可以被k个不相交的链覆盖。其次,如果
,
,那么由于a是P的极大值,
为P中大小为k+1的反链。现在,P可以被k+1个链
覆盖。到此,定理全部证明结束。
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