以下内容为本人并行计算课程的期末作业，有不足的地方，请多多指教！

1 实验目的

本实验的目的主要有以下三点：

1、 实现方阵行列式的计算。

2、 实现方阵行列式的并行计算，分别基于 OpenMP和 MPI。

3、 比较以上三种算法的运行时间,计算加速比。

2 实验设计

2.1 生成方阵

为方便，本实验的方阵不采取手动输入的方式，而是使用随机数来生成矩阵元素。

我定义了一个全局方阵变量——int p[100][100]。在创建方阵时，方阵的阶数N（N<100)由外部输入。然后用两层“for循环”来给方阵 p左上角 N×N个位置赋值。具体实现如下：

  1. /*
  2.  * 定义矩阵阶数N
  3.  */
  5. int N;
  7. /*
  8.  * 定义一个全局矩阵
  9.  */
  11. int p[100][100];
  13. /*
  14.  * 用随机数生成矩阵
  15.  */
  17. void create(){
  18. 	int i,j;
  19. 	for(i=0;i<N;i++)
  20. 	{
  21. 		for(j=0;j<N;j++)
  23. 	     {
  24.            int a=rand()%15;//产生随机数，并赋给数组
  25. 	       p[i][j]=a;
  26. 		 }
  27. 	}
  28. }

2.2 打印矩阵

将生成的矩阵输出，以便验算其计算行列式的正确性。具体实现如下：

  1. /*
  2.  * 输出矩阵
  3.  */
  5. void print()
  6. {
  7. 	int i,j;
  8. 	for(i=0;i<N;i++)
  9.     {
  10. 		for(j=0;j<N;j++)
  11. 			printf("%d ",p[i][j]);
  12. 		printf("\n");
  13. 	}
  14. }

2.3 计算矩阵行列式

计算矩阵行列式的方法有很多，本实验选择的方法是：行列式按行展开法。行列式等于它任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。代数余子式：A(ij)=（-1)^(i+j)M(ij).  (ij)为下标。某个元素的余子式等于原行列式划去该元素所在的行和列。本实验采取按第一行展开的方法。即：将高阶的行列式按第一行展开，一直重复展开行为，直到阶数为 1。上述过程可用递归完成。

2.3.1 递归实现代码

根据上面的理论，我们容易得出如下的实现方法：

  1. /*
  2.  * 计算行列式的函数
  3.  */
  5. long long mydet(int  p [100][100],int n){
  6. 	if(n==1)  //n=1返回矩阵的唯一数，停止递归
  7. 		return p[0][0];
  8. 	else{
  9. 		long long sum=0;
  10. 		for(int i=0;i<n;i++)
  11. 		{
  12. 			    int pp[100][100];//用于存放少一维的矩阵，为方便直接定义为100×100.
  13. 			for(int j=1,j1=0;j<n;j++)//去掉第一行
  14. 			{
  15. 				for(int k=0,k1=0;k<n;k++)
  16. 				{
  17. 					if(k==i)
  18. 						;//去掉对应的列
  19. 					else
  20. 					{
  22. 				     pp[j1][k1]=p[j][k];//pp为余子式
  23. 					 k1++;
  24. 					}
  25. 				}
  26. 			    j1++;
  27. 			}
  28. 			if(i%2)
  29.                 sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,n-1);
  30. 			else
  31. 				sum+=p[0][i]*mydet(pp,n-1);
  32. 		}
  33. 		return sum;
  34. 	}
  35. }

2.4  实现串行\OpenMP\MPI计算

我这里的并行主要是放在第一次的按行展开那，具体实现看代码吧。

2.4.1  串行代码

  1. /*************************************************************************
  2.     > File Name: matrix_det.c
  3.     > Author: surecheun
  4.     > Mail: surecheun@163.com
  5.     > Created Time: 2017年12月06日 星期三 17时28分00秒
  6.  ************************************************************************/
  7. #include<stdlib.h>
  8. #include<stdio.h>
  9. #include<math.h>
  10. #include<time.h>
  11. #include<time.h>
  12. /*
  13.  * 定义矩阵阶数N
  14.  */
  16. int N;
  18. /*
  19.  * 定义一个全局矩阵
  20.  */
  22. int p[100][100];
  24. /*
  25.  * 用随机数生成矩阵
  26.  */
  28. void create(){
  29. 	int i,j;
  30. 	for(i=0;i<N;i++)
  31. 	{
  32. 		for(j=0;j<N;j++)
  34. 	     {
  35.            int a=rand()%15;//产生随机数，并赋给数组
  36. 	       p[i][j]=a;
  37. 		 }
  38. 	}
  39. }
  41. /*
  42.  * 输出矩阵
  43.  */
  45. void print()
  46. {
  47. 	int i,j;
  48. 	for(i=0;i<N;i++)
  49.     {
  50. 		for(j=0;j<N;j++)
  51. 			printf("%d ",p[i][j]);
  52. 		printf("\n");
  53. 	}
  54. }
  56. /*
  57.  * 计算行列式的函数
  58.  */
  60. long long mydet(int  p [100][100],int n){
  61. 	if(n==1)  //n=1返回矩阵的唯一数，停止递归
  62. 		return p[0][0];
  63. 	else{
  64. 		long long sum=0;
  65. 		for(int i=0;i<n;i++)
  66. 		{
  67. 			    int pp[100][100];//用于存放少一维的矩阵，为方便直接定义为100×100.
  68. 			for(int j=1,j1=0;j<n;j++)//去掉第一行
  69. 			{
  70. 				for(int k=0,k1=0;k<n;k++)
  71. 				{
  72. 					if(k==i)
  73. 						;//去掉对应的列
  74. 					else
  75. 					{
  77. 				     pp[j1][k1]=p[j][k];//pp为余子式
  78. 					 k1++;
  79. 					}
  80. 				}
  81. 			    j1++;
  82. 			}
  83. 			if(i%2)
  84.                 sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,n-1);
  85. 			else
  86. 				sum+=p[0][i]*mydet(pp,n-1);
  87. 		}
  88. 		return sum;
  89. 	}
  90. }
  92. int main(){
  93. 	printf("N= ");
  94. 	scanf("%d",&N);
  95.     while(N){       //如果输入N就可以继续算下去，这个设计主要为了方便获取时间数据来计算平均用时
  96. 		create();
  97. 		print();
  98. 		clock_t start_t=clock();  //开始计时
  99. 		printf("the sum of 串行 is %lld .\n",mydet(p,N));
  100. 	         clock_t  end_t=clock();  //结束计时
  101. 		double   runing_t =(double)(end_t-start_t)/CLOCKS_PER_SEC;
  102. 		printf("the runing time of 串行 is %f s.",runing_t);  //输出时间
  103. 		printf("\n");
  104. 		printf("N= ");
  105. 		scanf("%d",&N);
  106. 	}
  108. 	return 0;
  109. }

2.4.2 OpenMP代码

  1. /*************************************************************************
  2.     > File Name: matrix_det_omp.c
  3.     > Author: surecheun
  4.     > Mail: surecheun@163.com
  5.     > Created Time: 2017年12月07日 星期四 17时23分51秒
  6.  ************************************************************************/
  8. #include<stdlib.h>
  9. #include<stdio.h>
  10. #include<math.h>
  11. #include<vector>
  12. #include<time.h>
  13. #include<omp.h>
  15. /*
  16.  * 定义线程数
  17.  */
  18. #define n_threads 2
  20.  /*
  21.  *定义矩阵的阶数为全局变量
  22.  */
  24. int N;
  26. /*
  27.  * 定义一个全局矩阵
  28.  */
  30. int p[100][100];
  32. /*
  33.  * 用随机数生成矩阵
  34.  */
  36. void create(){
  37. 	int i,j;
  38. 	for(i=0;i<N;i++)
  39. 	{
  40. 		for(j=0;j<N;j++)
  42. 	     {
  43.            int a=rand()%15;//产生随机数，并赋给数组
  44. 	       p[i][j]=a;
  45. 	     }
  46. 	}
  47. }
  49. /*
  50.  * 输出矩阵
  51.  */
  53. void print()
  54. {
  55. 	int i,j;
  56. 	for(i=0;i<N;i++)
  57.     {
  58. 		for(j=0;j<N;j++)
  59. 			printf("%d ",p[i][j]);
  60. 		printf("\n");
  61. 	}
  62. }
  64. /*
  65.  * 计算行列式的函数
  66.  */
  68. long long mydet(int  p [100][100],int n){
  69. 	if(n==1)  //n=1返回矩阵的唯一数，停止递归
  70. 		return p[0][0];
  71. 	else{
  72. 		long long sum=0;
  73. 		for(int i=0;i<n;i++)
  74. 		{
  75. 		    int pp[100][100];
  76. 			for(int j=1,j1=0;j<n;j++)//去掉第一行
  77. 			{
  78. 				for(int k=0,k1=0;k<n;k++)
  79. 				{
  80. 					if(k==i)//去掉和改数相同的列
  81. 						;
  82. 					else
  83. 					{
  85. 				     pp[j1][k1]=p[j][k];	//pp为代数余子式
  86. 					 k1++;
  87. 					}
  88. 				}
  89. 			    j1++;
  90. 			}
  91. 			if(i%2)
  92.                                           sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,n-1);
  93. 			else
  94. 				sum+=p[0][i]*mydet(pp,n-1);
  95. 		}
  96. 		return sum;
  97. 	}
  98. }
  100. int main(){
  101. 	printf("N= ");
  102. 	scanf("%d",&N);
  103.     while(N){       //如果输入的N>0，则继续计算
  104. 		create();  //创建矩阵
  105. 		print();   //打印创建的矩阵
  106. 		  double start1,finish1;
  107.                     start1=omp_get_wtime();  //开始计算时间
  108.                     long long sum=0;
  109.              omp_set_num_threads(n_threads);//设置线程数
  110.            #pragma omp parallel for reduction(+:sum)//并行化
  111.        for(int i=0;i<N;i++)
  112. 		{
  113. 		    int pp[100][100];
  114. 			for(int j=1,j1=0;j<N;j++)//去掉第一行
  115. 			{
  116. 				for(int k=0,k1=0;k<N;k++)
  117. 				{
  118. 					if(k==i)//去掉和i相同的列
  119. 						;
  120. 					else
  121. 					{
  123. 				     pp[j1][k1]=p[j][k];	//pp为余子式
  124. 					 k1++;
  125. 					}
  126. 				}
  127. 			    j1++;
  128. 			}
  129. 			if(i%2)
  130. 				sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,N-1);
  131. 			else
  132. 				sum+=p[0][i]*mydet(pp,N-1);
  133. 		}
  134.         printf("the sum of omp is %lld .\n",sum);//输出结果
  135. 	    finish1=omp_get_wtime();   //结束计算时间
  136. 		double   runing_t =finish1-start1;
  137. 		printf("the runing time of opm is %f s.",runing_t);//输出时间
  138. 		printf("\n");
  139. 		printf("N= ");
  140. 		scanf("%d",&N);
  141. 	}
  142. 	return 0;
  143. 	}

2.4.3 MPI实现代码

  1. /*************************************************************************
  2.     > File Name: matrix_det_mpi.c
  3.     > Author: surecheun
  4.     > Mail: surecheun@163.com
  5.     > Created Time: 2017年12月07日 星期四 16时24分03秒
  6.  ************************************************************************/
  8. #include<stdlib.h>
  9. #include<stdio.h>
  10. #include<math.h>
  11. #include<time.h>
  12. #include<mpi.h>
  14. /*
  15.  *定义矩阵的阶数为全局变量
  16.  */
  18. int N;
  20. /*
  21.  * 定义一个全局矩阵
  22.  */
  24. int p[100][100];
  26. /*
  27.  * 用随机数生成矩阵
  28.  */
  30. void create(){
  31. 	int i,j;
  32. 	for(i=0;i<N;i++)
  33. 	{
  34. 		for(j=0;j<N;j++)
  36. 	     {
  37.            int a=rand()%15;//产生随机数，并赋给数组
  38. 	       p[i][j]=a;
  39. 	     }
  40. 	}
  41. }
  43. /*
  44.  * 输出矩阵
  45.  */
  47. void print()
  48. {
  49. 	int i,j;
  50. 	for(i=0;i<N;i++)
  51.     {
  52. 		for(j=0;j<N;j++)
  53. 			printf("%d ",p[i][j]);
  54. 		printf("\n");
  55. 	}
  56. }
  58. /*
  59.  * 计算行列式的函数
  60.  */
  62. long long mydet(int  p [100][100],int n){
  63. 	if(n==1)  //n=1返回矩阵的唯一数，停止递归
  64. 		return p[0][0];
  65. 	else{
  66. 		long long sum=0;
  67. 		for(int i=0;i<n;i++)
  68. 		{
  69. 		    int pp[100][100];
  70. 			for(int j=1,j1=0;j<n;j++)//去掉第一行
  71. 			{
  72. 				for(int k=0,k1=0;k<n;k++)
  73. 				{
  74. 					if(k==i)
  75. 						;
  76. 					else
  77. 					{
  79. 				     pp[j1][k1]=p[j][k];
  80. 					 k1++;
  81. 					}
  82. 				}
  83. 			    j1++;
  84. 			}
  85. 			if(i%2)
  86.                 sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,n-1);
  87. 			else
  88. 				sum+=p[0][i]*mydet(pp,n-1);
  89. 		}
  90. 		return sum;
  91. 	}
  92. }
  94. int main(int argc,char *argv[]){
  95. 	  scanf("%d",&N);
  96.       int num_procs,my_rank;
  97.       double start = 0.0, stop = 0.0;  //记录时间的变量
  98.       long long  per_procs = 0.0;  //记录每个进程算的和
  99.       long long  result = 0.0;  //矩阵行列式结果
  100.       MPI_Init(&argc, &argv);
  101.       MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &num_procs);
  102.       MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &my_rank);
  103.       if (my_rank == 0)
  104. 	  {//0号线程创建矩阵
  105.         create();
  106.         print(); //打印创建的矩阵
  107.        }
  108.      start = MPI_Wtime();   //开始计算时间
  110.       MPI_Bcast(&N, 1, MPI_INT, 0, MPI_COMM_WORLD);    //将矩阵大小广播给所有进程
  111.       for (int i = 0; i <N; i++)
  112. 	  {
  113.       MPI_Bcast(p[i],N, MPI_INT, 0, MPI_COMM_WORLD);
  114.       }           //将矩阵广播给所有进程  
  116.       for (int i = my_rank; i <N; i += num_procs){ //每个线程处理不同的行和列
  117.             long long sum_i=0;
  118. 		    int pp[100][100];
  119. 			for(int j=1,j1=0;j<N;j++)//去掉第一行
  120. 			{
  121. 		    	for(int k=0,k1=0;k<N;k++)
  122. 				{
  123. 					if(k==i)
  124. 						;
  125. 					else
  126. 					{
  127. 				     pp[j1][k1]=p[j][k];
  128. 					 k1++;
  129. 					}
  130. 				}
  131. 			    j1++;
  132. 			}
  133.        if(i%2)
  134.                 sum_i=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,N-1);
  135.       else
  136. 		sum_i=p[0][i]*mydet(pp,N-1);
  137.         per_procs += sum_i;  //记录每个进程的和
  138.     }
  139.     MPI_Reduce(&per_procs, &result, 1, MPI_LONG_LONG_INT, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD);//在0号进程求总和
  140.     if (my_rank == 0){
  141.         printf("the sum of mpi is %lld .\n",result) ;
  142.         stop = MPI_Wtime();  //结束计算时间
  143.         printf("the time of mpi is %f s\n", stop - start);
  144.         fflush(stdout);
  145.     }
  146.     MPI_Finalize();
  147.     return 0;
  148. }

4 实验结果

4.1 正确性

4.1.1串行

结果分析，以 n=4为例，输出的矩阵为：

13

1

12

10

8

10

1

12

9

1

2

7

5

4

8

1

输出结果为：3875

和matlab计算结果一致！

4.1.2 OpenMP

结果分析，以 n=4为例，输出的矩阵为：

5

0

8

1

1

5

11

3

2

5

1

1

0

0

14

12

输出结果为：-2710

和matlab计算结果一致！

4.1.3 MPI

结果分析，以n=4为例，输出矩阵为：

9

1

2

7

5

4

8

1

0

6

7

1

11

8

12

9

输出结果为：-202

和matlab计算结果一致！

4.2 加速比

通过多次求平均，得到三种计算实现方法的计算时间（保留 3 位有效数字）如下：

N(阶数）

串行

OpenMP

MPI

9

0.0239s

0.0117s

0.0117s

10

0.195s

0.105s

0.100s

柱状图如下：

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