数据结构之Treap
1. 概述
同splay tree一样,treap也是一个平衡二叉树,不过Treap会记录一个额外的数据,即优先级。Treap在以关键码构成二叉搜索树的同时,还按优先级来满足堆的性质。因而,Treap=tree+heap。这里需要注意的是,Treap并不是二叉堆,二叉堆必须是完全二叉树,而Treap可以并不一定是。
2. Treap基本操作
为了使Treap 中的节点同时满足BST性质和最小堆性质,不可避免地要对其结构进行调整,调整方式被称为旋转。在维护Treap 的过程中,只有两种旋转,分别是左旋转(简称左旋)和右旋转(简称右旋)。
左旋一个子树,会把它的根节点旋转到根的左子树位置,同时根节点的右子节点成为子树的根;右旋一个子树,会把它的根节点旋转到根的右子树位置,同时根节点的左子节点成为子树的根。
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struct Treap_Node { Treap_Node *left,*right; //节点的左右子树的指针 int value,fix; //节点的值和优先级 }; void Treap_Left_Rotate(Treap_Node *&a) //左旋 节点指针一定要传递引用 { Treap_Node *b=a->right; a->right=b->left; b->left=a; a=b; } void Treap_Right_Rotate(Treap_Node *&a) //右旋 节点指针一定要传递引用 { Treap_Node *b=a->left; a->left=b->right; b->right=a; a=b; } |
3. Treap的操作
同其他树形结构一样,treap的基本操作有:查找,插入,删除等。
3.1 查找
同其他二叉树一样,treap的查找过程就是二分查找的过程,复杂度为O(lg n)。
3.2 插入
在Treap 中插入元素,与在BST 中插入方法相似。首先找到合适的插入位置,然后建立新的节点,存储元素。但是要注意新的节点会有一个优先级属性,该值可能会破坏堆序,因此我们要根据需要进行恰当的旋转。具体方法如下:
1. 从根节点开始插入;
2. 如果要插入的值小于等于当前节点的值,在当前节点的左子树中插入,插入后如果左子节点的优先级小于当前节点的优先级,对当前节点进行右旋;
3. 如果要插入的值大于当前节点的值,在当前节点的右子树中插入,插入后如果右子节点的优先级小于当前节点的优先级,对当前节点进行左旋;
4. 如果当前节点为空节点,在此建立新的节点,该节点的值为要插入的值,左右子树为空,插入成功。
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Treap_Node *root; void Treap_Insert(Treap_Node *&P, int value) //节点指针一定要传递引用 { if (!P) //找到位置,建立节点 { P= new Treap_Node; P->value=value; P->fix= rand (); //生成随机的修正值 } else if (value <= P->value) { Treap_Insert(P->left,r); if (P->left->fix < P->fix) Treap_Right_Rotate(P); //左子节点修正值小于当前节点修正值,右旋当前节点 } else { Treap_Insert(P->right,r); if (P->right->fix < P->fix) Treap_Left_Rotate(P); //右子节点修正值小于当前节点修正值,左旋当前节点 } } |
3.3 删除
与BST 一样,在Treap 中删除元素要考虑多种情况。我们可以按照在BST 中删除元素同样的方法来删除Treap 中的元素,即用它的后继(或前驱)节点的值代替它,然后删除它的后继(或前驱)节点。
上述方法期望时间复杂度为O(logN),但是这种方法并没有充分利用Treap 已有的随机性质,而是重新得随机选取代替节点。我们给出一种更为通用的删除方法,这种方法是基于旋转调整的。首先要在Treap 树中找到待删除节点的位置,然后分情况讨论:
情况一,该节点为叶节点或链节点,则该节点是可以直接删除的节点。若该节点有非空子节点,用非空子节点代替该节点的,否则用空节点代替该节点,然后删除该节点。
情况二,该节点有两个非空子节点。我们的策略是通过旋转,使该节点变为可以直接删除的节点。如果该节点的左子节点的优先级小于右子节点的优先级,右旋该节点,使该节点降为右子树的根节点,然后访问右子树的根节点,继续讨论;反之,左旋该节点,使该节点降为左子树的根节点,然后访问左子树的根节点,这样继续下去,直到变成可以直接删除的节点。
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BST_Node *root; void Treap_Delete(Treap_Node *&P, int *value) //节点指针要传递引用 { if (value==P->value) //找到要删除的节点 对其删除 { if (!P->right || !P->left) //情况一,该节点可以直接被删除 { Treap_Node *t=P; if (!P->right) P=P->left; //用左子节点代替它 else P=P->right; //用右子节点代替它 delete t; //删除该节点 } else //情况二 { if (P->left->fix < P->right->fix) //左子节点修正值较小,右旋 { Treap_Right_Rotate(P); Treap_Delete(P->right,r); } else //左子节点修正值较小,左旋 { Treap_Left_Rotate(P); Treap_Delete(P->left,r); } } } else if (value < P->value) Treap_Delete(P->left,r); //在左子树查找要删除的节点 else Treap_Delete(P->right,r); //在右子树查找要删除的节点 } |
4. Treap应用
Treap可以解决splay tree可以解决的所有问题,具体参见另一篇博文:《数据结构之伸展树》
可以这样定义结构体:
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struct Treap_Node { Treap_Node *left,*right; //节点的左右子树的指针 int value,fix,weight,size; //节点的值,优先级,重复计数(记录相同节点个数,节省空间),子树大小 inline int lsize(){ return left ?left->size ?0; } //返回左子树的节点个数 inline int rsize(){ return right?right->size?0; } //返回右子树的节点个数 }; |
5. 总结
Treap 作为一种简洁高效的有序数据结构,在计算机科学和技术应用中有着重要的地位。它可以用来实现集合、多重集合、字典等容器型数据结构,也可以用来设计动态统计数据结构。
6. 参考资料
(1)Treap:http://www.nocow.cn/index.php/Treap
(2)随机平衡二叉查找树Treap 的分析与应用:http://www.byvoid.com/blog/wp-content/uploads/2010/12/treap-analysis-and-application.pdf
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