【BZOJ4417】: [Shoi2013]超级跳马

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题解：

　　矩阵快速幂优化DP。

　　先考虑$nm^2$DP，设$f_{(i,j)}$表示从$1,1$到$i,j$的方案，显然这个方程和奇偶性有关，我们考虑某列的$i$同奇偶性的转移和奇偶性相异的贡献，很容易把刚才的方程变成$nm$的轮换式方程，即$f_{(0/1,j)}$表示偶/奇数列第$j$行的方案数。此时转移方程为$$f_{(i,j)}=f_{(i,j)}+\sum_{x=-1}^{1}f_{（i(xor)1，j+x）}$$

　　然后考虑如何用矩阵优化，画图发现十字相乘时，如果我们把奇偶分成两列会没办法转移，然后考虑十字相乘性质，我们可以把奇偶两列转换为一列上的两段，这样我们构建$(2n)^2$的矩阵，至于递推矩阵，YY一下即可。

代码：

　　

#define Troy 10/24/2017

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline int read(){
    int s=,k=;char ch=getchar();
    while(ch<''|ch>'')    ch=='-'?k=-:,ch=getchar();
    while(ch>&ch<='')    s=s*+(ch^),ch=getchar();
    return s*k;
}

const int mod=;

int n,m;

struct Matrix{
    int a[][];
    Matrix(){memset(a,,sizeof(a));}
    inline void e1(){
        for(int i=;i<=*n;i++)
            a[i][i]=;
    }
    inline friend Matrix operator *(Matrix x,Matrix y){
        Matrix z;
        for(int i=;i<=*n;i++)
            for(int j=;j<=*n;j++)
                for(int k=;k<=*n;k++)
                    z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*1ll*y.a[k][j])%mod;
        return z;
    }
    inline friend Matrix operator ^(Matrix a,long long b){
        Matrix ret;ret.e1();
        while(b){
            if(b&) ret=ret*a;
            a=a*a;b>>=;
        }return ret;
    }
};

int main(){
    n=read(),m=read();
    if(m==){
        puts(n==?"":"");
        return ;
    }
    Matrix ans;
    ans.a[+n][]=;
    if(n>)
        ans.a[+n][]=;
    Matrix t;
    for(int i=;i<=n;i++){
        t.a[i][i+n]=;
        t.a[i+n][i]=;
        t.a[i+n][i+n]=;
        if(i-)
            t.a[i+n][i+n-]=;
        if(i+<=n)
            t.a[i+n][i+n+]=;
    }
    ans=(t^(m-))*ans;
    printf("%d",ans.a[*n][]);
}