UOJ #236. 【IOI2016】railroad

Description

Anna 在一个游乐园工作。她负责建造一个新的过山车铁路。她已经设计了影响过山车速度的 nn 个特殊的路段（方便起见标记为 00 到 n−1n−1）。现在 Anna 必须要把这些特殊的路段放在一起并提出一个过山车的最后设计。为了简化问题，你可以假设过山车的长度为零。

对于 00 和 n−1n−1 之间的每个 ii，这个特殊的路段 ii 具有如下两个性质：

当进入这个路段时，有一个速度限制：过山车的速度必须小于或等于 sisi km/h（每小时千米），

当离开这个路段时，过山车的速度刚好是 titi km/h，不管过山车进入该路段时的速度如何。

最后完成的过山车设计是一个以某种顺序包含这 nn 个特殊路段的单一铁路线。这 nn 个路段中的每一个应当被使用刚好一次。连续的路段之前用铁轨来连接。Anna 应该选择这 nn 个路段的顺序，然后确定每段铁轨的长度。铁轨的长度以米来衡量，可以是任意的非负整数（可以为零）。

两个特殊路段之间的每 11 米铁轨可以将过山车的速度减慢 11 km/h。在这个过山车铁路的起点，过山车按照 Anna 选择的顺序进入第一个特殊路段时的速度是 11 km/h。

最后的设计还必须满足以下要求：

过山车在进入这些特殊路段时不能违反任一个速度限制；

过山车的速度在任意时刻为正。

在所有子任务中（子任务 33 除外），你的任务是找出这些路段之间铁轨的最小可能总长度（这些路段之间铁轨总长度的最小值）。对于子任务 33 你只需要检查是否存在一个有效的过山车设计，使得每段铁轨的长度为零。

Solution

我们可以把这个过程看成速度的起落,于是我们把速度离散成点

对于每组\((s_i,t_i)\),\(s_i->t_i\)连边,这样形成很多条边

我们可以把速度的变化看作这个图中的一条欧拉路,这样也得先满足欧拉路的条件

经过每一段区间 \([x,x+1]\) 的向左的边和向右的边的差的绝对值不超过\(1\)(因为这是一个反复横跳的过程)

这样我们就得到了每一个点的度数 \(in[i]\) (向左-向右的边数)

如果 \(in[i]<0\) 我们要做的是让速度变慢,那么就加入 \(in[i]\)条代价为 \(x_i-x_{i-1}\) 的边,从而满足度数条件

如果 \(in[i]>0\) 因为速度增大是不需要代价的,所以直接把度数变成 \(0\) 即可

所以前面一部分相当于是把有交的边先处理好(同一个连通块)

最后由于图要连通,所以再做一遍最小生成树,实质是构造出不同连通块的摆放顺序,使得代价最小

#include<bits/stdc++.h>
#include "railroad.h"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=400005;
int n,b[N],num=0,m,fa[N],sum[N];
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
struct sub{
	int x,y,z;
	bool operator <(const sub &p)const{return z<p.z;}
}e[N];
long long plan_roller_coaster(std::vector<int> s, std::vector<int> t) {
    n = (int) s.size();
	 for(int i=0;i<n;i++)b[++num]=s[i],b[++num]=t[i];
	 sort(b+1,b+num+1);m=unique(b+1,b+num+1)-b-1;
	 for(int i=1;i<=m;i++)fa[i]=i;
	 for(int i=0;i<n;i++){
		 s[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,s[i])-b;
		 t[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,t[i])-b;
		 fa[find(t[i])]=find(s[i]);
		 sum[s[i]]--,sum[t[i]]++;
	 }
	 int cnt=0;ll ans=0;
	 sum[1]++;sum[m]--;
	 if(find(1)!=find(m))fa[find(m)]=find(1);
	 for(int i=m;i>1;i--){
		 if(sum[i]){
			 if(sum[i]>0)ans+=1ll*sum[i]*(b[i]-b[i-1]);
			 sum[i-1]+=sum[i];fa[find(i)]=find(i-1);
		 }
		 e[++cnt]=(sub){i-1,i,b[i]-b[i-1]};
	 }
	 sort(e+1,e+cnt+1);
	 for(int i=1;i<=cnt;i++){
		 int x=e[i].x,y=e[i].y;
		 if(find(x)==find(y))continue;
		 fa[find(y)]=find(x);
		 ans+=e[i].z;
	 }
    return ans;
}