题解-PKUWC2018 猎人杀

Problem

loj2541

题意概要：给定 $n$ 个人的倒霉度 $\{w_i\}$，每回合会有一个人死亡，每个人这回合死亡的概率为 自己的倒霉度/目前所有存活玩家的倒霉度之和，求第 $1$ 个人最后一个死亡的概率

Solution

设 $B = \sum_{i=2}^nw_i$

要求 $1$ 号最后一个被选中有点不好做，但是求 $1$ 号第一个被选中还是比较好做的（$\frac {w_1}{\sum_{i=1}^nw_i}$）

至于这两者怎么联系起来，使用 $\mathrm {min-max}$ 容斥（和 HAOI2015按位或有点像：前者是求 $1$ 号最后一个被选中的概率；后者是求集合内最后一个被选中的期望次数）

$\mathrm{min-max}$ 容斥的式子为：

\[\max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min\{T\}
\]

由于 $1$ 为需要求的点，将其从 $S,T$ 的定义中刨除，即

\[\max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|}\min\{T\}
\]

而同时

\[\min\{T\}=\frac {w_1}{w_1+\sum_{x\in T}w_i}
\]

发现 $\min\{T\}$ 最多有 $B$ 种，可以考虑计算出每一项的容斥系数再 $O(B)$ 计算

至于计算容斥系数，可使用母函数求得，即求出下面式子的每一项系数：

\[\prod_{i=2}^n(1-x^{w_i})
\]

分治 ntt 求解，每一层母函数度数和为 $B$，复杂度 $O(B\log B)$，总复杂度 $O(B\log^2B)$

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

inline void read(int&x){

	char ch=getchar();x=0;while(!isdigit(ch))ch=getchar();

	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();

}

const int N = 200200, T = 37, p = 998244353;

int stk[T], tp;

int brr[T][N], L[T];

int w[N], rev[N];

inline int qm(const int&x) {return x < p ? x : x - p;}

inline int qpow(int A, int B) {

	int res = 1; while(B) {

		if(B&1) res = (ll)res * A%p;

		A = (ll)A * A%p, B >>= 1;

	} return res;

}

void dft(int*a,int n,int sgn) {

	for(int i=1;i<n;++i) if(i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);

	for(int i=1;i<n;i<<=1) {

		int gn = qpow(3, (p-1)/(i<<1));

		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)) {

			int g = 1;

			for(int k=0;k<i;++k,g=(ll)g*gn%p) {

				int x = a[j+k], y = (ll)g * a[j+k+i]%p;

				a[j+k] = qm(x + y), a[j+k+i] = qm(x - y+p);

			}

		}

	}

	if(!sgn) {

		int iv = qpow(n, p-2); reverse(a+1,a+n);

		for(int i=0;i<n;++i) a[i] = (ll)a[i] * iv%p;

	}

}

void mul(int ai, int bi, int ci) {

	int*ar = brr[ai], *br = brr[bi], *cr = brr[ci];

	int n = L[ai], m = L[bi], &t = L[ci];

	t = n + m; int nn = 1, l = 0;

	while(nn < t) nn <<= 1, ++ l;

	for(int i=n;i<nn;++i) ar[i] = 0;

	for(int i=m;i<nn;++i) br[i] = 0;

	for(int i=1;i<nn;++i) rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1) << l-1);

	dft(ar, nn, 1), dft(br, nn, 1);

	for(int i=0;i<nn;++i) cr[i] = (ll)ar[i] * br[i]%p;

	dft(cr, nn, 0);

}

int binary(int l, int r) {

	if(l == r) {

		int id = stk[--tp], *arr = brr[id];

		for(int i=w[l]<<1;i;--i) arr[i] = 0;

		arr[0] = 1, arr[w[l]] = p-1, L[id] = w[l]+1;

		return id;

	}

	int mid = l + r >> 1;

	int ls = binary(l, mid), rs = binary(mid+1, r);

	int id = stk[--tp]; mul(ls, rs, id);

	stk[tp++] = ls, stk[tp++] = rs;

	return id;

}

int main() {

	for(int i=0;i<T;++i) stk[tp++] = T-i-1;

	int n; read(n);

	for(int i=1;i<=n;++i) read(w[i]);

	int id = binary(2, n);

	int ans = 0, *arr = brr[id];

	for(int i=0;i<L[id];++i)

		ans = (ans + (ll)arr[i] * qpow(w[1] + i, p-2))%p;

	ans = (ll)ans * w[1]%p;

	printf("%d\n",ans);

	return 0;

}