[TJOI2019]唱、跳、rap和篮球

嘟嘟嘟




TJ律师函警告




20分暴力比较好拿，因为每一种学生可以理解为无限多，那么总方案数就是\(C_{n} ^ {4}\)，然后我们枚举至少讨论cxk的有几组，容斥即可。

需要注意的是，容斥的时候还要考虑每一组的位置可以不一样，因此要用插板法计算方案：\(C_{i + n - 4i} ^ {i}\)。




剩下虽然没给暴力分，但其实能水到68。

我们\(O(n ^ 3)\)枚举\(a, b, c\)人数（这样就能算出来\(d\)的人数），设分别为\(i, j, k, h\)。然后根据可重集的全排列公式，方案数就是\(\frac{n!}{i! * j! * k! * h!}\)。这时候再枚举组数容斥减去即可。加几个break就能搞到68分。

然后机房乱搞之神ssy在这个思路的基础上直接水到100分：把容斥放在最外层；发现有一部分可以与处理；记忆化。但这里我们就不细讲了。




正解是NTT啥的，但我虽然会，可是懒得写。这里讲一个更简单的方法。

考虑到上面的复杂度瓶颈在于\(O(n ^ 3)\)枚举人数。我们可以换一种思路：枚举\(a, b\)之和\(t\)，这样总方案数就是\(\sum _ {t = 0} ^ {n} (\sum _ {i = 0} ^ {t} C_{t} ^ {i} * \sum _ {k = 0} ^ {n - t} C_{n - t} ^ {k}) C_{n} ^ {t}\)。

然后发现中间的两个\(\sum\)是底数（但愿能这么叫）相同的连续组合数之和，于是可以预处理。如果不考虑容斥，\(O(n)\)就能求出来。

然后我们在最外层套上容斥，和20分做法一样，枚举讨论cxk的有几组就行了。




代码参见了题解，虽然不是很提倡循环的时候改变全局变量的方法，但有时候这么写是真的简便。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<assert.h>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e3 + 5;
const ll mod = 998244353;
In int read()
{
  int ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
In void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
In void MYFILE()
{
#ifndef mrclr
  freopen(".in", "r", stdin);
  freopen(".out", "w", stdout);
#endif
}

int n, a, b, c, d;

In ll inc(ll a, ll b) {return a + b < mod ? a + b : a + b - mod;}

ll C[maxn][maxn], sum[maxn][maxn];
In void init()
{
  C[0][0] = 1;
  for(int i = 1; i < maxn; ++i)
    {
      C[i][0] = 1;
      for(int j = 1; j <= i; ++j) C[i][j] = inc(C[i - 1][j - 1], C[i - 1][j]);
    }
  sum[0][0] = 1;
  for(int i = 0; i < maxn; ++i)
    {
      sum[i][0] = 1;
      for(int j = 1; j < maxn; ++j) sum[i][j] = inc(sum[i][j - 1], C[i][j]);
    }
}

In ll calc(int t, int L, int R)
{
  if(L > R) return 0;
  if(L <= 0) return sum[t][R];
  return inc(sum[t][R], mod - sum[t][L - 1]);
}

int main()
{
  //MYFILE();
  n = read();
  a = min(n, read()), b = min(n, read()), c = min(n, read()), d = min(n, read());
  init();
  ll ans = 0;
  for(int t = 0; n >= 0 && a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 && d >= 0; ++t)
    {
      ll tp = 0;
      for(int i = 0; i <= n; ++i)
	tp = inc(tp, C[n][i] * calc(i, i - b, i) % mod * calc(n - i, n - i - d, c) % mod);
      tp = tp * C[n + t][t] % mod;
      ans = inc(ans, (t & 1) ? mod - tp : tp);
      n -= 4, --a, --b, --c, --d;
    }
  write(ans), enter;
  return 0;
}