【CTS2019】珍珠【生成函数，二项式反演】

题目链接：洛谷

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pb大佬说这是sb题感觉好像有点过fan。。。（我还是太弱了）

首先，设$i$这个数在序列中出现$a_i$次，要求$\sum_{i=1}^D[a_i \ mod \ 2]\leq n-2m$

如果要直接计算$\leq n-2m$的数量会非常麻烦，所以考虑设$g_i$表示恰好出现$i$个奇数的方案之和。

这样也还是太麻烦，我们考虑使用反演或容斥通过$\geq i$的数量推算出恰好等于$i$的数量，假设$f_i$表示出现$i$个奇数的方案数。

因为这是数的排列问题，所以考虑使用指数型生成函数。

$$\begin{align*}f_k&=[x^n]n!\binom{D}{k}(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^k(e^x)^{D-k} \\&=[x^n]\frac{n!}{2^k}\binom{D}{k}(e^x-e^{-x})^ke^{(D-k)x}\end{align*}$$

前面系数的部分可以不用管它，直接看后面多项式的部分。

$$\begin{align*}&(e^x-e^{-x})^ke^{(D-k)x}[x^n] \\=&\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}e^{ix}e^{-(k-i)x}(-1)^{k-i}e^{(D-k)x}[x^n] \\=&\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}e^{(2i+D-2k)x}(-1)^{k-i}[x^n] \\=&\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}e^{(D-2i)x}(-1)^{k-i}[x^n] \\=&\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^i(D-2i)^n\end{align*}$$

$$f_k=\frac{D!}{2^k(D-k)!}\sum_{i=0}^k\frac{(-1)^i(D-2i)^n}{i!}*\frac{1}{(k-i)!}$$

可以通过卷积$O(D\log D)$计算。

计算$g_k$可以使用二项式反演，熟悉二项式反演的同学可以知道，二项式反演其实就是指数型生成函数的应用。
$$f_i=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}g_j\Rightarrow g_i=\frac{1}{i!}\sum_{j=k}^n\frac{(-1)^{j-i}}{(j-i)!}*(f_j*j!)$$

$$ans=\sum_{i=0}^{n-2m}g_i$$

时间复杂度$O(D\log D)$

 #include<bits/stdc++.h>
 #define Rint register int
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N = , mod = , g = , gi = ;
 inline int kasumi(int a, int b){
     int res = ;
     while(b){
         if(b & ) res = (LL) res * a % mod;
         a = (LL) a * a % mod;
         b >>= ;
     }
     return res;
 }
 int fac[N], inv[N], invfac[N], ans;
 inline void init(int n){
     fac[] = ;
     for(Rint i = ;i <= n;i ++) fac[i] = (LL) fac[i - ] * i % mod;
     invfac[n] = kasumi(fac[n], mod - );
     for(Rint i = n;i;i --){
         invfac[i - ] = (LL) i * invfac[i] % mod;
         inv[i] = (LL) invfac[i] * fac[i - ] % mod;
     }
 }
 int rev[N];
 inline int calrev(int n){
     int limit = , L = -;
     while(limit <= n){limit <<= ; L ++;}
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         rev[i] = (rev[i >> ] >> ) | ((i & ) << L);
     return limit;
 }
 inline void NTT(int *A, int limit, int type){
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         if(i < rev[i]) swap(A[i], A[rev[i]]);
     for(Rint mid = ;mid < limit;mid <<= ){
         int Wn = kasumi(type ==  ? g : gi, (mod - ) / (mid << ));
         for(Rint j = ;j < limit;j += (mid << )){
             int w = ;
             for(Rint k = ;k < mid;k ++, w = (LL) w * Wn % mod){
                 int x = A[j + k], y = (LL) w * A[j + k + mid] % mod;
                 A[j + k] = (x + y) % mod;
                 A[j + k + mid] = (x - y + mod) % mod;
             }
         }
     }
     if(type == -){
         int inv = kasumi(limit, mod - );
         for(Rint i = ;i < limit;i ++) A[i] = (LL) A[i] * inv % mod;
     }
 }
 int D, n, m, F[N], G[N];
 int main(){
     scanf("%d%d%d", &D, &n, &m);
     if(n <  * m){
         printf("");
         return ;
     }
     if(D <= n -  * m){
         printf("%d", kasumi(D, n));
         return ;
     }
     init(D);
     for(Rint i = ;i <= D;i ++){
         F[i] = (LL) kasumi((D -  * i + mod) % mod, n) * invfac[i] % mod;
         if(i & ) F[i] = mod - F[i];
         G[i] = invfac[i];
     }
     int limit = calrev(D << );
     NTT(F, limit, ); NTT(G, limit, );
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) F[i] = (LL) F[i] * G[i] % mod;
     NTT(F, limit, -);
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) G[i] = ;
     for(Rint i = D + ;i < limit;i ++) F[i] = ;
     for(Rint i = ;i <= D;i ++){
         F[i] = (LL) F[i] * fac[i] % mod * fac[D] % mod * kasumi(, mod -  - i) % mod * invfac[D - i] % mod;
         G[D - i] = (i & ) ? (mod - invfac[i]) : invfac[i];
     }
     NTT(F, limit, ); NTT(G, limit, );
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) F[i] = (LL) F[i] * G[i] % mod;
     NTT(F, limit, -);
     for(Rint i = ;i <= n -  * m;i ++) ans = (ans + (LL) F[i + D] * invfac[i] % mod) % mod;
     printf("%d", ans);
 }

Luogu5401