CF #589 (Div. 2)C. Primes and Multiplication 快速幂+质因数

题目链接：https://www.luogu.org/problem/CF1228C

问题可以转化为：求质数 $p$ 在 $1\sim n$ 中的每个数中的次幂之和.

因为 $p$ 是一个质数，只能由 $1$ 乘以 $p$ 表示出来，所以可以将问题转化为求 $p$ 在 $n!$ 中出现的次幂.

我们可以像提取公因式一样地去提取这个 $p$.

那么，先考虑 $p$ 的贡献：$1\sim n$ 中能被 $p$ 整除的乘积为 $p^{\frac{n}{p}}\times (\frac{n}{p}!)$

然后递归处理啊 $\frac{n}{p}!$ 中 $p$ 出现的次数.

由于 $p>2$，而 $n<10^8$，所以提取次数不会超过 $65$，复杂度是很优秀的.

#include <bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define ll unsigned long long
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
vector<ll>v;
ll qpow(ll base,ll k)
{
    ll tmp=1ll;
    for(;k;k>>=1,base=base*base%mod) if(k&1) tmp=tmp*base%mod;
    return tmp;
}
int main()
{
    int i,j;
    ll x,n,p;
    // setIO("input");
    scanf("%lld%lld",&x,&n);
    p=x;
    for(i=2;i*i<=p;++i)
    {
        if(p%i==0)
        {
            v.push_back(i);
            for(;p%i==0;) p/=i;
        }
    }
    if(p>1) v.push_back(p);
    ll ans=1ll;
    for(i=0;i<v.size();++i)
    {
        ll m=n;
        ll now=0;
        while(m>=v[i])
        {
            now+=m/v[i];
            m/=v[i];
        }
        ans=ans*qpow(v[i], now)%mod;
    }
    printf("%lld\n",(long long)ans);
    return 0;
}