# 组合数学-组合数+lacus定理

数论-组合数+lacus定理

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• 数论-组合数+lacus定理
  • 组合数计算
  • lacus定理-大组合数取模

组合数计算

• 为避免爆long long，\(20!\)就达到了long long 的范围，采用边乘边除的思想

ll C(ll n,ll m){
    if(n<m)return 0;
    ll ans=1;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
        ans=ans*(n-m+i)/i;//这里特别注意,debug了一上午没发现...
    	/*
    	如果要取模
    	ans=ans*(n-m+i)%mod;
    	ans=ans*inv[i]%mod;
    	*/
    return ans;
}

lacus定理-大组合数取模

• 卢卡斯定理：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p，适合p的范围在10^5且p为素数的情况

• 费马小定理：当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)， a*a^(p-2)≡1(mod p)

ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    a%=p;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p
    }
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m){
    if(n<m)return 0;
    ll ans=1;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
        ans=ans*((n-m+i)%p*qpow(i,p-2)%p)%p;//费马小定理求逆元
    return ans;
}

ll lacus(ll n,ll m){
    if(m==0)
        return 1;
    return (lacus(n/p,m/p)*C(n%p,m%p))%p;
}