NTT数论变换

数论变换NTT

前置知识

FFT：NTT的思想和FFT一样（[FFT介绍](%3Ca href="https://www.cnblogs.com/guoshaoyang/p/10957854.html"%3Ehttps://www.cnblogs.com/guoshaoyang/p/10957854.html%3C/a%3E)）

概述

数论变换，即NTT（Number Theory Transformation？），是基于数论域的FFT，一般我们默认FFT为负数域上的快速傅里叶变换，和NTT区分。

我们知道，FFT是利用单位复根的周期性，以$\Theta(N \log N)$的复杂度计算$N$组多项式的值。NTT其实就是在数论域上的FFT，它利用素数取模的周期性，达到了和FFT一样的效果。

原根

若$a$模$P$的阶等于$φ(P)$，则称$a$为模$P$的一个原根（这个定义不重要）。

对于质数$P$，若$g$是$P$的原根，那么$g^i \mod P$的结果两两不同；或者说$g^t = 1 (\mod P)$当且仅当指数为$t=P-1$的时候成立。

我们发现，原根的性质和单位负数根的性质一一对应，都满足周期性和周期内互异性，故可以用来代入和插值。

NTT

我们有离散傅里叶变换公式

\[X_k=\sum^{N-1}_{n=0}{x_ne^{-\frac{2\pi i}{N}nk}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (k=0,1,...,N-1)
\]

和逆变换公式

\[X_k=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}{x_ne^{\frac{2\pi i}{N}nk}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (k=0,1,...,N-1)
\]

我们只需要用原根$g^{\frac{P-1}{N}} (\mod P)$替代单位复根$e^{-\frac{-2\pi i}{N}}$，就可以得到

\[X_k=\sum^{N-1}_{n=0}{x_ng^{\frac{P-1}{N}nk}}(\mod P) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (k=0,1,...,N-1)
\]

和

\[X_k=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}{x_ng^{-\frac{P-1}{N}nk}}(\mod P) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (k=0,1,...,N-1)
\]

实现

和FFT的模板几乎一样，用原根$g^{\frac{P-1}{N}} (\mod P)$替代单位复根$e^{-\frac{-2\pi i}{N}}$即可

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int INF=1e9+7,MAXN=3e6+10/*Min:2^20+10*/;

const LL BASE=3,MOD=998244353,INV=332748118;

inline LL fpm(LL base,LL p){

	LL ret=1;

	while(p){

		if(p&1)

			ret=ret*base%MOD;

		base=base*base%MOD;

		p>>=1;

	}

	return ret%MOD;

}

int N,M,limit=1,lg,rev[MAXN];

inline void NTT(LL *a,int type){

	for(int i=0;i<limit;i++)

		if(i<rev[i])

			swap(a[i],a[rev[i]]);

	for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){

		int len=mid<<1/*n*/;

		LL Wn=fpm(type==1?BASE:INV/*BASE^type*/,(MOD-1)/len);

		for(int j=0;j<limit;j+=len){

			LL w=1;

			for(int k=0;k<mid;k++){

				int x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%MOD;

				a[j+k]=(x+y)%MOD;

				a[j+k+mid]=(x-y+MOD)%MOD;

				w=w*Wn%MOD;

			}

		}

	}

}

LL a[MAXN],b[MAXN];

int main(){

	scanf("%d%d",&N,&M);

	for(int i=0;i<=N;i++){

		scanf("%lld",a+i);

		a[i]=(a[i]+MOD)%MOD;

	}

	for(int i=0;i<=M;i++){

		scanf("%lld",b+i);

		b[i]=(b[i]+MOD)%MOD;

	}

	while(limit<=N+M){

		limit<<=1;

		lg++;

	}

	for(int i=0;i<limit;i++)

		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));

	NTT(a,1);

	NTT(b,1);

	for(int i=0;i<limit;i++)

		a[i]=a[i]*b[i]%MOD;

	NTT(a,-1);

	LL limit_inv=fpm(limit,MOD-2);

	for(int i=0;i<=N+M;i++)

		printf("%lld ",a[i]*limit_inv%MOD);

	return 0;

}

复杂度

时间

和FFT一样，是$\Theta(N \log N)$，在数据较小的情况下比FFT快，但因为其中有快速幂运算，如果数字太大则会导致TLE

空间

和FFT一样，是$\Theta(N)$，但注意数组大小不是$N+M$，而是不小于$N+M$的最小的$2$的幂

范围（素数选取）

我们需要一个大素数来取模，这个素数要大于最终输出的答案（但如果太大，就需要使用快速乘）

下面给出常用的几个素数，原根及原根的逆元

素数	原根	逆元
65537	3	21846
786433	10	235930
5767169	3	1922390
7340033	3	2446678
23068673	3	7689558
104857601	3	34952534
167772161	3	55924054
469762049	3	156587350
998244353	3	332748118
1004535809	3	334845270
2013265921	31	64944062
2281701377	3	760567126
3221225473	5	1932735284
75161927681	3	25053975894
77309411329	7	22088403237
206158430209	22	84337539631
2061584302081	7	589024086309
2748779069441	3	916259689814
6597069766657	5	2638827906663
39582418599937	5	15832967439975
79164837199873	5	47498902319924
263882790666241	7	150790166094995
1231453023109120	3	410484341036374
1337006139375610	3	445668713125206
3799912185593850	5	1519964874237540
4222124650659840	19	888868347507335
7881299347898360	6	1313549891316390
31525197391593400	3	10508399130531100
180143985094819000	6	30023997515803300
1945555039024050000	5	1167333023414430000
4179340454199820000	3	1393113484733270000