RMQ问题——ST算法

比赛当中，常会出现RMQ问题，即求区间最大（小）值。我们该怎样解决呢？

主要方法有线段树、ST、树状数组、splay。

---

例题

题目描述

2008年9月25日21点10分，酒泉卫星发射中心指控大厅里，随着指挥员一声令下，长征二号F型火箭在夜空下点火起飞，神舟七号飞船载着翟志刚、刘伯明、景海鹏3位航天员，在戈壁茫茫的深邃夜空中飞向太空，开始人类漫步太空之旅。第583秒，火箭以7.5公里／秒的速度，将飞船送到近地点200公里、远地点350公里的椭圆轨道入口。而此时，火箭的燃料也消耗殆尽，即将以悲壮的方式与飞船告别。这个过程，在短短不到10分钟时间内，翟志刚和他的两名战友体会到了从超重到失重的过程。

除了超重和失重的感觉之外，就是浩瀚的长空中璀璨的星星，和地面上看到的星星不同，在太空中看到的星星是成一条直线的，一共有N(1<=N<=100,000)颗星星，编号为1到N,每个星星有自己的体积，由于在飞船中很无聊，除了不停地玩弄手中失重的书和笔之外没有别的事可干，此时翟志刚说我们来玩游戏吧，一共玩了M轮(1<=M<=100,000)，每一轮都是给出两个整数L和R(1<=L<=R<=N)，询问第L到第R颗星星之间最大星星的体积，每次答对的人就可以多休息一段时间。

由于翟志刚还要进行太空漫步，所以他现在请你帮忙，你得到的回报就是太空饼干。

输入

第一行输入N,M

接下来一行N个整数，表示星星的体积(1<=体积<=maxlongint)

接下来M行，每行两个整数L_i,R_i,表示询问区间。

输出

输出M行，每一行表示询问区间L_i到R_i之间最大星星的体积。

样例输入

6 3

5 7 3 9 2 10

1 3

2 4

3 6

样例输出

7

9

10

提示

【数据说明】

50%的数据满足1<=N,M<=5000

---

这题是一个裸RMQ题，就是给你一个数列，每次求一个区间中的最大值。

可以用ST算法做。

ST算法

这其实是一个DP。设f[i][j]表示以j~j+2^i-1的区间的最大值。

初始化：f[0][j]=a[j]

方程：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j+2^(i-1)])

原因其实很好理解，就是将两个小区间合并，成为一个大区间。



那怎么询问？

假设询问[l,r]，

我们可以以l为起点取个最大区间，再从r为终点取个最大区间，两个区间合在一起就是[l,r]这个区间了。

怎么取？

设k=int(log2(r-l+1))

那么query(l,r)=max(f[k][l],f[k][r-2^k+1])



两个区间合起来一定是[l,r]，因为它们的长度至少是[l,r]的一半（如果不到一半，它还可以扩大两倍。然而这应该是最大的区间），两边合起来一定是[l,r]。

时间复杂度：O(NlgN+Q) Q为询问次数

空间复杂度：O(NlgN)

---

代码实现

实现很简单，这里只写重要部分（我不会告诉你我曾是用Pascal打的，用C++打的那个是线段树）

预处理

for (i=1;i<=n;++i)
    f[0][i]=a[i];
for (i=1;i<=int(log2(n));++i)
    for (j=1;j<=n-(1>>i)+1;++j)
        f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j+(1<<i-1)]);

询问

int query(int l,int r)
{
    int k=int(log2(r-l+1));
    return max(f[k][l],f[k][r-(1>>k)+1]);
}