[NOI2005]月下柠檬树[计算几何(simpson)]
1502: [NOI2005]月下柠檬树
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Description
Input
文件的第1行包含一个整数n和一个实数alpha,表示柠檬树的层数和月亮的光线与地面夹角(单位为弧度)。第2行包含n+1个实数h0,h1,h2,…,hn,表示树离地的高度和每层的高度。第3行包含n个实数r1,r2,…,rn,表示柠檬树每层下底面的圆的半径。上述输入文件中的数据,同一行相邻的两个数之间用一个空格分隔。输入的所有实数的小数点后可能包含1至10位有效数字。
Output
输出1个实数,表示树影的面积。四舍五入保留两位小数。
Sample Input
10.0 10.00 10.00
4.00 5.00
Sample Output
HINT
1≤n≤500,0.3
Source
求一棵树(圆锥加圆台组成)在平面上的投影的面积。
给定投影角度(0.3 < alpha <= pi/2)。
先来想想圆的投影是什么样子
还是他自己。
再想圆锥投影是什么样子
一个点加一个圆,并且有这个点与该圆的两条切线(该点在圆内部时没有切线)
再想圆台
两个圆,加上两个圆的外公切线组成的一坨图形。
不妨随意画一个。
好难画- -!
大概就转化成这个样子了。
观察这个图形…
轴对称啊- -!
首先AC长是圆心距,可求。
AI长是半径差,可求。
所以CI可求。
连接FC,观察△FAC
2*S△FAC=FG*AC=CI*AF
AF为半径,已知。
所以FG可求。
于是AG可求。
A点坐标已知,所以F点坐标已知。
E点,直接相似即可。
或者用射影定理求EF
概述图中,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:BD²=AD·CDAB²=AC·ADBC²=CD·AC
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define pf(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const int N=+;
const double eps=1e-;
typedef pair<double,double> point;
typedef pair<double,double> circle;
struct line{
point s,t;
double k,b;
line(){}
line(point _s,point _t){
s=_s;t=_t;
k=(s.second-t.second)/(s.first-t.first);
b=s.second-s.first*k;
}
const double f(const double x){
return k*x+b;
}
};
int n,n1;double alpha,H[N];
point p;line L[N];circle C[N];
double lb=2e9,rb;
double sina,cosa,tana;
inline void add(const circle &a,const circle &b){
n1++;
sina=(a.second-b.second)/(b.first-a.first);
cosa=sqrt(-pf(sina));
tana=sina/cosa;
L[n1].s=make_pair(a.first+a.second*sina,a.second*cosa);
L[n1].t=make_pair(b.first+b.second*sina,b.second*cosa);
L[n1].k=-tana;
L[n1].b=L[n1].s.second-L[n1].s.first*L[n1].k;
}
inline const double F(const double x){
double re=;
for(int i=;i<=n1;i++) if(x>=L[i].s.first&&x<=L[i].t.first) re=max(re,L[i].f(x));
for(int i=;i<=n;i++) if(x>=C[i].first-C[i].second&&x<=C[i].first+C[i].second) re=max(re,sqrt(pf(C[i].second)-pf(x-C[i].first)));
return re;
}
inline const double simpson(const double l,const double r){
double mid=(l+r)/;
return (F(l)+F(r)+*F(mid))*(r-l)/;
}
inline double asr(double l,double r,double eps,double last){
double mid=(l+r)/;
double L=simpson(l,mid),R=simpson(mid,r);
if(fabs(L+R-last)<=*eps) return L+R+(L+R-last)/;
return asr(l,mid,eps/,L)+asr(mid,r,eps/,R);
}
inline int cmp(const double x){
if(fabs(x)<eps) return ;
return x>?:-;
}
int main(){
scanf("%d%lf",&n,&alpha);
for(int i=;i<=n+;i++) scanf("%lf",&H[i]),H[i]+=H[i-];
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lf",&C[i].second);
double ta=tan(alpha);
p=make_pair(H[n+]/ta,);rb=max(rb,p.first);
double x,r,l,h;
C[n].first=H[n]/ta;
x=C[n].first;r=C[n].second;
lb=min(lb,x-r);
rb=max(rb,x+r);
if(x+r<p.first){
l=pf(r)/(p.first-x);// 射影定理
h=sqrt(pf(r)-pf(l));
L[++n1]=line(make_pair(x+l,h),p);
}
for(int i=n-;i;i--){
C[i].first=H[i]/ta;
x=C[i].first;r=C[i].second;
lb=min(lb,x-r);
rb=max(rb,x+r);
if(cmp(C[i+].first-x-fabs(C[i+].second-r))>)//内含
add(C[i],C[i+]);
}
printf("%.2lf\n",*asr(lb,rb,eps,simpson(lb,rb)));
return ;
}
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