ACdream 1067:Triangles

Problem Description

已知一个圆的圆周被N个点分成了N段等长圆弧，求任意取三个点，组成锐角三角形的个数。

Input

多组数据，每组数据一个N(N <= 1000000)

Output

对于每组数据，输出不同锐角三角形的个数。

Sample Input

3
4
5

Sample Output

1
0
5

分析：当3个点组成锐角三角形ABC时，圆心O一定在三角形内部，∠AOB , ∠BOC, ∠COA一定小于180度（∠AOB  +  ∠BOC + ∠COA = 360度）
 
（1）当N为偶数时，用1, 2 .... k ,  k+1,  .... , 2k来标记N个点(2K = N).  固定一个点,  如点A = 点k， 那么2k点是肯定不能选的了，因为 k, 2k组成一条直径。
 
           所以剩下两个区间 [1， k-1],  [K+1, 2k-1].如果点B， 点C同处一个区间，那么ABC一定是一个钝角三角形，所以B，C一定不可处于同一区间。
 
           设点B = 点x， x 属于[1, k-2];   点C=点y，y 属于[k+1, 2k-1];
 
           在这样的情况下，y - x > k 才能使得ABC为锐角三角形  ==> (x, y)的取值有S =  0 + 1 + 2 + ... + (k - 2) = (k -1) * (k -2) /2  = (N/2 - 1) * (N / 2 - 2) / 2 ;
           有N个点，每个三角形被重复计算3次，所以一共有 S * N / 3种；
 
（2）点N为奇数时， k = N / 2.  用0,  1 ... k ,  k + 1,  2k.
         固定点A = 点0，则过点A的直径把N个点分成[1, k],   [k+1, 2k]两个部分。和(1)同理，可以令  点B = 点x , x 属于[1, k],  点C = 点y，  y 属于[k+1, 2k];
 
          在这样的情况下，y - x <=  k 才能使得ABC为锐角三角形  ==> (x, y)的取值有S =  k + (k- 1) + ... + 1 = k  * (k +1)  /2  = (N/2) * (N / 2 + 1) / 2 ;
 
          有N个点，每个三角形被重复计算3次，所以一共有 S * N / 3种；
 
综上：
 
N 为偶数时，     ans = N *  (N/2 - 1) * (N / 2 - 2) / 6；
 
N为奇数时，      ans = N * (N/2) * (N / 2 + 1) / 6；

1. #include <stdio.h>
2. #include <string.h>
3. #include <algorithm>
4. using namespace std;
5. #define ll long long
6. int main()
7. {
8. ll n,k,ans;
9. while(~scanf("%lld",&n))
10. {
11. if(n<3)
12. ans = 0;
13. else if(n%2)
14. ans = (1+n/2)*(n/2)*n/6;
15. else
16. ans = (n/2-2)*(n/2-1)*n/6;
17. printf("%lld\n",ans);
18. }
19. return 0;
20. }