【题意】给定一个[0,m-1]范围内的数字集合S,从中选择n个数字(可重复)构成序列。给定x,求序列所有数字乘积%m后为x的序列方案数%1004535809。1<=n<=10^9,3<=m<=8000,m为素数,1<=x<=m-1。(个人认为题意修改错误)

【算法】NTT+生成函数+离散对数+快速幂

【题解】由Πai=x(%m),可得Σlog ai=log x(%(m-1)),其中log以m的原根g为底。

所以通过将集合S和x对m取离散对数,将乘积转化为和,从而方便生成函数运算。

定义,信息为数字和,选择项为数字个数。

对于1个数字,若转化后的S中存在x,则f(x)=1,否则f(x)=0。

那么ans=f^n(x),使用以NTT为乘法运算的快速幂即可。

注意:

1.每次NTT后,将>=m-1的部分叠加到%(m-1)的位置。

2.每次dft会改变原数组,所以要提前复制一份。

3.若集合S中有数字0,无视。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=,MOD=;
int a[maxn],b[maxn],tot,n,X,p,K,logs[maxn],f[maxn],ans[maxn],c[maxn];
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){x=;y=;}
else{exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int inv(int a){int x,y;exgcd(a,MOD,x,y);return (x%MOD+MOD)%MOD;}
int power(int x,int k,int p){
int ans=;
while(k){
if(k&)ans=1ll*ans*x%p;
x=1ll*x*x%p;
k>>=;
}
return ans;
}
namespace ntt{
int o[maxn],oi[maxn];
void init(int n){
int g=,x=power(g,(MOD-)/n,MOD);
for(int i=;i<n;i++){
o[i]=(i==?:1ll*o[i-]*x%MOD);
oi[i]=inv(o[i]);
}
}
void transform(int *a,int n,int *o){
int k=;
while((<<k)<n)k++;
for(int i=;i<n;i++){
int t=;
for(int j=;j<k;j++)if((<<j)&i)t|=(<<(k-j-));
if(i<t)swap(a[i],a[t]);
}
for(int l=;l<=n;l*=){
int m=l>>;
for(int *p=a;p!=a+n;p+=l){
for(int i=;i<m;i++){
int t=1ll*o[n/l*i]*p[i+m]%MOD;
p[i+m]=(p[i]-t+MOD)%MOD;
p[i]=(p[i]+t)%MOD;
}
}
}
}
void dft(int *a,int n){transform(a,n,o);}
void idft(int *a,int n){
transform(a,n,oi);
int nn=inv(n);
for(int i=;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*nn%MOD;
}
void multply(int *a,int *b,int n){
for(int i=;i<n;i++)c[i]=b[i];
dft(a,n);dft(c,n);
for(int i=;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*c[i]%MOD;
idft(a,n);
for(int i=p-;i<n;i++)if(a[i])a[i%(p-)]=(a[i%(p-)]+a[i])%MOD,a[i]=;
}
}
int find(int p){
int sq=(int)(sqrt(p)+0.5),P=p-;
for(int i=;i<=sq;i++)if(P!=){
if(P%i==){
b[++tot]=i;
while(P%i==)P/=i;
}
}
if(P!=)b[++tot]=P;
for(int i=;i<=p;i++){
bool ok=;
for(int j=;j<=tot;j++)if(power(i,(p-)/b[j],p)==){ok=;break;}
if(ok)return i;
}
return ;
}
void pre_log(){
int g=find(p),x=;
for(int i=;i<p-;i++){
logs[x]=i;
x=1ll*x*g%p;
}
}
void POWER(){
int N=;
while(N<p+p-)N*=;
ntt::init(N);
ans[]=;
while(K){
if(K&)ntt::multply(ans,f,N);
ntt::multply(f,f,N);
K>>=;
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&K,&p,&X,&n);
pre_log();
int x;
for(int i=;i<=n;i++){
scanf("%d",&x);
if(!x)continue;
f[logs[x]]=;
}
POWER();
printf("%d",ans[logs[X]]);
return ;
}

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