SP2666 QTREE4 - Query on a tree IV(LCT)
题意翻译
你被给定一棵n个点的带边权的树(边权可以为负),点从1到n编号。每个点可能有两种颜色:黑或白。我们定义dist(a,b)为点a至点b路径上的权值之和。
一开始所有的点都是白色的。
要求作以下操作:
C a 将点a的颜色反转(黑变白,白变黑)
A 询问dist(a,b)的最大值。a,b点都必须为白色(a与b可以相同),显然如果树上仍存在白点,查询得到的值一定是个非负数。
特别地,如果作'A'操作时树上没有白点,输出"They have disappeared."。
题解
一道神仙题……完全不知道这题大佬们是怎么想出思路的orz这里
然而还是看不太懂决定自己写一下……
本来打算用捉迷藏一样做的……但发现我那一道写的时候是用括号表示做的……这题有边权不能做……
说下思路吧
LCT只能维护点权,但本题中是边权
我们可以指定一个根(比如1),然后令所有的边权变成它指向的儿子的点权,记为$len$
ps:这样做之后会有很多细节,需要一一注意
然后在考虑一下如何求出两个相邻最远的白点的距离呢?
因为LCT上面有实边和虚边,所以实儿子和虚儿子的信息要用不同的方法维护
实边构成了一个splay,我们定义几个数组,$lmx$表示splay中深度最浅的点能够到达的最远的白点的距离,$rmx$表示splay中深度最深的点能够到达的最远的白点的距离,$mxs$表示splay中距离最远的两个白点的距离,也就是答案,$sum$表示整棵splay的长度和
ps:LCT中的splay在原树中是一条链!所以$sum$维护的是整条链的长度和,同理$lmx$表示这条链的顶端距离白点的最远距离,$rmx$表示这条链的底端距离白点的最远距离
虚儿子的信息怎么维护?虚儿子我们需要记录的只有到白点的最远距离,以及虚儿子中的$mxs$,直接开两个$set$丢进去就好了
那么,这些信息够了吗?
当然已经够了,因为已经足够将信息不断向上传递了
先考虑一下虚子树对$mxs$的影响,实边太复杂了待会儿再说
因为在$access$的时候,会有换边的操作
对于由实变虚的原右儿子,把$mx[rs]$丢进路径的$set$里,把$lx[rs]$丢进链的$set$里
同理,把由虚变实的新右儿子$mx[y]$和$lx[y]$从对应的$set$里删除就行
$mx$丢进去我们可以理解,因为要维护答案,但为什么链的长度只要把$lx$丢进$set$就行了呢?
考虑一下,$set$里维护的是这一个顶点到其虚子树中的白点的最大距离,而$lx[rs]$代表的是$x$的右子树中深度最浅的点到白点的最大距离,如果回到原树上,这就是$x$的儿子到白点的最大距离!!又因为我们将边权给了儿子,所以,只需要记录虚边的$ls$即可
然后期待已久(写到吐血)pushup操作了
这部分还是具体看代码好了……细节太多了……我这里简单提几嘴
$lmx$要过子树的最低点,所以等于$max(lmx[ls],max(虚链中最长+整个左子树,右子树中最长+整个左子树))$
$rmx$同理
然后$mxs$就是把所有可能的链给接起来以及子树的答案都弄出来更新就好了
ps:如果$x$也是白点,他自己也得拿出来更新$mxs$
时间复杂度$O(n log^2 n)$
然而如果$set$的$size$大说明虚边多,深度不大,LCT操作次数少一点
如果树的深度深,$set$的$size$又不会太大,所以时间复杂度不是很严格
ps:请务必详细看看注解,这题细节多的要命
//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,:;}
inline int read(){
#define num ch-'0'
char ch;bool flag=;int res;
while((ch=getc())<''||ch>'')
(ch=='-')&&(flag=true);
for(res=num;(ch=getc())>=''&&ch<='';res=res*+num);
(flag)&&(res=-res);
#undef num
return res;
}
const int N=,inf=0x3f3f3f3f;
int n,ver[N],Next[N],head[N],edge[N],tot,ans=-inf,col[N];
inline void add(int u,int v,int e){ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;}
inline int fir(multiset<int> &s){return s.size()?*s.rbegin():-inf;}
inline int sec(multiset<int> &s){return s.size()>?*(++s.rbegin()):-inf;}
/*分别是查询set里的最大和次大*/
#define ls ch[x][0]
#define rs ch[x][1]
int ch[N][],fa[N],lmx[N],rmx[N],mxs[N],sum[N],len[N],w[N];
/*w表示这个点是否是白点,如果是赋值为0,否则赋值为-inf*/
multiset<int> chain[N],path[N];
/*chain存链长,path存路径长*/
inline bool isroot(int x){return ch[fa[x]][]!=x&&ch[fa[x]][]!=x;}
void init(){for(int i=;i<=n;++i) lmx[i]=rmx[i]=mxs[i]=-inf;}
void pushup(int x){
sum[x]=sum[ls]+sum[rs]+len[x];
/*sum表示整棵splay的长度和*/
int cha=max(w[x],fir(chain[x]));
/*找最远的虚边上的白点的距离*/
int L=max(cha,rmx[ls]+len[x]);
/*向左子树或向虚边最远能走多远
ps:这里len要加上去,因为左子树在原树中是x的祖先
要加上x到父亲的距离(已经被转化为点权了)*/
int R=max(cha,lmx[rs]);
/*向右子树或向虚边最远能走多远*/
lmx[x]=max(lmx[ls],sum[ls]+len[x]+R);
/*不经过x,或经过x并走到最远
注意左子树在原树中是一条链!不存在路径重叠问题*/
rmx[x]=max(rmx[rs],sum[rs]+L);
/*同理*/
mxs[x]=max(rmx[ls]+len[x]+R,lmx[rs]+L);
cmax(mxs[x],max(mxs[ls],mxs[rs]));
cmax(mxs[x],fir(path[x]));
cmax(mxs[x],fir(chain[x])+sec(chain[x]));
/*最长链和次长链可以形成一条路径*/
if(w[x]==) cmax(mxs[x],max(fir(chain[x]),));
/*用一堆东西来更新答案*/
}
void rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y],d=ch[y][]==x;
if(!isroot(y)) ch[z][ch[z][]==y]=x;
fa[x]=z,fa[y]=x,fa[ch[x][d^]]=y,ch[y][d]=ch[x][d^],ch[x][d^]=y,pushup(y);
}
void splay(int x){
for(int y=fa[x],z=fa[y];!isroot(x);y=fa[x],z=fa[y]){
if(!isroot(y))
((ch[y][]==x)^(ch[z][]==y))?rotate(x):rotate(y);
rotate(x);
}
pushup(x);
}
void access(int x){
for(int y=;x;x=fa[y=x]){
splay(x);
if(rs) path[x].insert(mxs[rs]),chain[x].insert(lmx[rs]);
if(y) path[x].erase(path[x].find(mxs[y])),chain[x].erase(chain[x].find(lmx[y]));
rs=y,pushup(x);
/*注意虚实子树变换时要更新path和chain*/
}
}
void modify(int x){
/*改变点的颜色,col为1表示黑,0表示白*/
access(x),splay(x);
col[x]^=,w[x]=col[x]?(-inf):;
pushup(x),ans=mxs[x];
}
void dfs(int u){
for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
int v=ver[i];
if(v==fa[u]) continue;
fa[v]=u,len[v]=edge[i],dfs(v);
/*把边的权值给儿子*/
chain[u].insert(lmx[v]),path[u].insert(mxs[v]);
}
pushup(u);
}
int main(){
//freopen("testdata.in","r",stdin);
n=read();init();
for(int i=;i<n;++i){
int u=read(),v=read(),e=read();
add(u,v,e),add(v,u,e);
}
dfs(),ans=mxs[];int q=read();
while(q--){
char op=getc();int x;
getc();
if(op=='A'){
ans<?puts("They have disappeared."):printf("%d\n",ans);
}
else x=read(),modify(x);
}
return ;
}
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