[NOIP2016 DAY1 T2]天天爱跑步-[差分+线段树合并][解题报告]

###[[NOIP2016 DAY1 T2]天天爱跑步](http://oi.nks.edu.cn/zh/Problem/Details?cid=222&tid=B)

题面:

B【NOIP2016 DAY1】天天爱跑步
时间限制 : - MS 空间限制 : 565536 KB 评测说明 : 2s

Description

小c同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。《天天爱跑步》是一个养成类游戏,需要

玩家每天按时上线,完成打卡任务。这个游戏的地图可以看作一一棵包含 $N$个结点和$N-1$ 条边的树, 每条边连接两个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从1到N的连续正整数。现在有个玩家,第个玩家的起点为$Si$ ,终点为$Ti$ 。每天打卡任务开始时,所有玩家在第$0$秒同时从自己的起点出发, 以每秒跑一条边的速度,不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去, 跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。

(由于地图是一棵树, 所以每个人的路径是唯一的)小C想知道游戏的活跃度, 所以在每个结点上都放置了一个观察员。在结点的观察员会选择在第$W_j$秒观察玩家, 一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第$W_j$秒也理到达了结点$J$。

小C想知道每个观察员会观察到多少人?注意: 我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏, 他不能等待一段时间后再被观察员观察到。即对于把结点$J$作为终点的玩家: 若他在第$W_j$秒重到达终点,则在结点$J$的观察员不能观察到该玩家;若他正好在第$W_j$秒到达终点,则在结点的观察员可以观察到这个玩家。

Input

第一行有两个整数$N$和$M$ 。其中$N$代表树的结点数量, 同时也是观察员的数量, $M$代表玩家的数量。

接下来$n-1$ 行每行两个整数$U$和$V$ ,表示结点$U$到结点$V$有一条边。

接下来一行$N$ 个整数,其中第个整数为$W_j$, 表示结点出现观察员的时间。

接下来 $M$行,每行两个整数$S_i$和$T_i$表示一个玩家的起点和终点。

对于所有的数据,保证。

$1<=S_i,T_i<=N,0<=W_j<=N$

Output

输出$1$行$N $个整数,第个整数表示结点的观察员可以观察到多少人。

Sample Input

6 3

2 3

1 2

1 4

4 5

4 6

0 2 5 1 2 3

1 5

1 3

2 6

Sample Output

2 0 0 1 1 1

HINT

对于$1$号点，$W_1=0$，故只有起点为$1$号点的玩家才会被观察到，所以玩家$1$和玩家$2$被观察到，共$2$人被观察到。

对于$2$号点，没有玩家在第$2$秒时在此结点，共$0$人被观察到。

对于$3$号点，没有玩家在第$5$秒时在此结点，共$0$人被观察到。

对于$4$号点，玩家$1$被观察到，共$1$人被观察到。

对于$5$号点，玩家$1$被观察到，共$1$人被观察到。

对于$6$号点，玩家$3$被观察到，共$1$人被观察到

题解:

为了这道题还专门去学习了线段树合并(暴露了蒟蒻现在才会这东西的事实),有空也会写一篇关于线段树合并的博客,这篇博客将不对其原理进行解释(这都挖了几个坑了啊)(ps:已秒填坑)

我们考虑对一个节点$i$的子树中如果含有起点$x$,我们很容易得到这样的式子:$dep[x]-dep[i]==w[i]$,($w[i]$是这个节点观察员出现的时间),我们一般希望将等式两边处理为一个相对的定值(不知道怎么表达这种感觉,意会意会),推出$dep[i]+w[i]==dep[x]$,对于这个式子,左边对观察者就是定值,右边对于跑步者就是定值;

同样,当终点$x$在节点$i$的子树里时,我们需要将时间的影响考虑进去,记起点与中点的距离为$dis$,那么$w[i]==dep[i]-dep[x]+dis$,移项变为$w[i]-dep[i]==dis-dep[x]$,对这个式子来说,依旧是:左边对观察者是定值,右边对于跑步者是定值;

$Start:dep[i]+w[i]==dep[Start]$

$End:w[i]-dep[i]==dis-dep[End]$

于是我们的问题就转换为求一颗子树中,对这个子树的根所能做的贡献之和,即求子树中满足根节点为$i$时的节点个数(当然这个节点可能会同时有几个权值);

于是,我们考虑对每一个点维护权值线段树(每个点维护两个,分别记录起点终点),表示自己所包含子树中所含的每个值的点个数为多少;

考虑使用树剖的思想,将起点到终点的过程分解为从起点到$LCA$,从$LCA$到终点这两条链,这时候我们就可以显然的使用差分的思想;

在起点的起点树(对一个点开两个线段树,记记录起点的叫起点树,另一个为终点树)的$dep[Start]$的位置$+1$,$Father_LCA$的$dep[Start]$位置的起点树$-1$;

在终点终点树$dis-dep[End]$的位置$+1$,在$LCA$的$dis-dep[End]$的位置$-1$,这就是对序列差分的原理;

$DFS$统计答案,从叶节点开始,统计完就向上合并即可;

注意权值线段树可能出现负数,需要偏移;

$code:$

#include<cstdio>

#include<ctype.h>

#include<vector>

#include<algorithm>

using namespace std;

char buf[1<<20],*p1,*p2;

inline char gc()

{

//    return getchar();

    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin))==p1?0:*p1++;

}

template<typename T>

inline void read(T &x)

{

    char tt;

    bool flag=0;

    while(!isdigit(tt=gc())&&tt!='-');

    tt=='-'?(flag=1,x=0):(x=tt-'0');

    while(isdigit(tt=gc())) x=x*10+tt-'0';

    if(flag) x=-x;

}

const int maxn=3*(1e5+2);

int sum[maxn*40][2],ls[maxn*40][2],rs[maxn*40][2],tot[2],root[maxn*40][2];

int n,m,w[maxn],mx,ans[maxn];

int son[maxn],top[maxn],sz[maxn],dep[maxn],fa[maxn];

vector<int>G[maxn];

int getlca(int x,int y)

{

	if(x==y) return x;

	while(top[x]^top[y])

	dep[top[x]]>=dep[top[y]]?x=fa[top[x]]:y=fa[top[y]];

	return dep[x]<=dep[y]?x:y;

}

int cal(int x,int y,int lca)

{

    return dep[x]+dep[y]-(dep[lca]<<1);

}

void modify(int &p,int l,int r,int x,int d,int id)

{

	if(!p) p=++tot[id];

	if(l==r){sum[p][id]+=d;return;}

	int mid=l+r>>1;

	if(x<=mid) modify(ls[p][id],l,mid,x,d,id);

	if(x>mid) modify(rs[p][id],mid+1,r,x,d,id);

}

int query(int &p,int l,int r,int x,int id)

{

	if(!p) p=++tot[id];

	if(l==r){return sum[p][id];}

	int mid=l+r>>1;

	if(x<=mid) return query(ls[p][id],l,mid,x,id);

	if(x>mid) return query(rs[p][id],mid+1,r,x,id);

}

void merge(int &x,int y,int id)

{

	if(!x||!y){x=x+y;return;}

	sum[x][id]+=sum[y][id];

	merge(ls[x][id],ls[y][id],id);

	merge(rs[x][id],rs[y][id],id);

}

void dfs(int x,int pre)

{

	sz[x]++,dep[x]=dep[pre]+1,fa[x]=pre;

	for(int i=G[x].size()-1;i>=0;i--)

	{

		int p=G[x][i];

		if(p==pre) continue;

		dfs(p,x);

		if(sz[p]>sz[son[x]]) son[x]=p;

		sz[x]+=sz[p];

	}

}

void dfs(int x,int pre,int t)

{

	top[x]=t;

	if(!son[x]) return;

	dfs(son[x],x,t);

	for(int i=G[x].size()-1;i>=0;i--)

	{

		int p=G[x][i];

		if(p==pre||p==son[x]) continue;

		dfs(p,x,p);

	}

}

void dfs(int x)

{

	for(int i=G[x].size()-1;i>=0;i--)

	{

		int p=G[x][i];

		if(p==fa[x]) continue;

		dfs(p);

		merge(root[x][0],root[p][0],0);

		merge(root[x][1],root[p][1],1);

	}

	ans[x]+=query(root[x][0],1,mx,dep[x]+w[x],0);

	ans[x]+=query(root[x][1],1,mx,w[x]-dep[x]+maxn,1);

}

int main()

{

    read(n),read(m);mx=n+maxn;

    for(int i=1;i<n;i++)

    {

        int x,y;

        read(x),read(y);

        G[x].push_back(y);

        G[y].push_back(x);

    }dfs(1,0),dfs(1,0,1);

    for(int i=1;i<=n;i++) read(w[i]);

    for(int i=1;i<=m;i++)

    {

        int x,y;

        read(x),read(y);

        int lca=getlca(x,y);

        int t=cal(x,y,lca);

        modify(root[x][0],1,mx,dep[x],1,0);

        modify(root[fa[lca]][0],1,mx,dep[x],-1,0);

        modify(root[y][1],1,mx,t-dep[y]+maxn,1,1);

        modify(root[lca][1],1,mx,t-dep[y]+maxn,-1,1);

    }dfs(1);

    for(int i=1;i<=n;i++)

    printf("%d ",ans[i]);

}