【HDU 5382】 GCD?LCM! （数论、积性函数）

GCD?LCM!

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Output

T lines, find S(n) mod 258280327.

Sample Input

8
1
2
3
4
10
100
233
11037

Sample Output

1
5
13
26
289
296582
3928449
213582482

Author

SXYZ

Source

2015 Multi-University Training Contest 8

 

 

【分析】

　　这题好神啊。。。又涨姿势了。。

　　$$f(n)=\sum\sum [lcm(i,j)+gcd(i,j)>=n]$$

　　$$=\sum_{i'}\sum_{j'}\sum_{d}[d+i'*j'*d>=n]$$

　　$$=\sum_{i'}\sum_{j'}\sum_{d}[(i'*j'+1)*d>=n]$$

　　$$=\sum_{i'}\sum_{j'}\sum_{d}[(i'*j'+1)*d>=n-1]-\sum_{i'}\sum_{j'}\sum_{d}[(i'*j'+1)*d==n-1]$$

　　设$G(n)=\sum_{d|n}[gcd(d,\dfrac{n}{d})==1]$

　　则

　　$f(n)=f(n-1)-\sum_{d} G(\dfrac{n-1}{d}-1)+(2*n-1)$【后面加的是要注意i和j的范围！！！】

　　$G$G是积性函数，且$G(p^k)=2$

　　则可以$O(n)$筛出来。。

　　然后f前面的累加，后面的nlogn处理。

　　然后再累加即可。

 

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define Maxn 1000010
 #define Mod 258280327

 int pri[Maxn],pl,g[Maxn],t[Maxn],f[Maxn];
 bool vis[Maxn];

 void init()
 {
     memset(vis,,sizeof(vis));
     pl=;g[]=;
     for(int i=;i<=Maxn-;i++)
     {
         if(!vis[i]) pri[++pl]=i,g[i]=;
         for(int j=;j<=pl;j++)
         {
             if(pri[j]*i>Maxn-) break;
             vis[i*pri[j]]=;
             if(i%pri[j]==) g[i*pri[j]]=g[i];
             else g[i*pri[j]]=*g[i]%Mod;
             if(i%pri[j]==) break;
         }
     }
     for(int i=;i<=Maxn-;i++)
     {
         for(int j=i;j<=Maxn-;j+=i)
         {
             t[j]=(t[j]+g[j/i-])%Mod;
         }
     }
     for(int i=;i<=Maxn-;i++) f[i]=(f[i-]+(*i-)-t[i-])%Mod;
     for(int i=;i<=Maxn-;i++) f[i]=((f[i]+f[i-])%Mod+Mod)%Mod;
 }

 int main()
 {
     init();
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         int n;
         scanf("%d",&n);
         printf("%d\n",f[n]);
     }
     return ;
 }

【有一点点容斥的东东在么？】

2017-04-27 15:28:52