BZOJ3775: 点和直线（计算几何+拉格朗日乘数法）

题面

传送门

题解

劲啊……

没有和\(Claris\)一样推，用了类似于\(Shinbokuow\)推已知点求最短直线的方法，结果\(WA\)了好几个小时，拿\(Claris\)代码拍了几个小时都没找到\(bug\)在哪儿，最后发现是我一个除法的地方忘记除数为\(0\)的情况了……甘霖娘……

公式恐惧症患者可以直接转去结论了

设直线为\(ax+by+c=0\)，点为\((x,y)\)，记\(d_i=a_i^2+b_i^2\)，那么就是要我们最小化

\[\begin{aligned}
f(x,y)
&=\sum {(a_ix+b_iy+c_i)^2\over d_i}\\
&=\sum {a_i^2x^2+b_i^2y^2+c_i^2+2a_ib_ixy+2a_ic_ix+2b_ic_iy\over d_i}
\end{aligned}
\]

以下为了方便，记\(A^2=\sum{a_i^2\over d_i}\)，\(B^2,C^2\)同理，以及\(AB=\sum{a_ib_i\over d_i}\)，\(BC,AC\)同理，那么原式可以表示成

\[f(x,y)=x^2A^2+y^2B^2+C^2+2xyAB+2xAC+2yBC
\]

用拉格朗日乘数法对\(y\)求偏导数（这句话的意思大概就是，我们认为\(x\)是一个常数，那么对于每一个\(x=x_0\)，\(y\)都会有一个极值点，而这个极值点就是它导数为\(0\)的点，所以我们把\(y\)看做变量求导）

\[{\partial f\over \partial y}=2yB^2+2xAB+2BC=0
\]

解得

\[y={-xAB-BC\over B^2}
\]

代入原式可以化为

\[f(x,y)=\alpha x^2+\beta x+\gamma
\]

其中

\[\alpha=A^2-{(AB)^2\over B^2}
\]

\[\beta=2AC-{2(AB)(BC)\over B^2}
\]

\[\gamma=C^2-{(BC)^2\over B^2}
\]

易知\(\alpha \geq 0\)（证明下面有）

不过这里其实还有一个尴尬的情况就是有可能\(B^2=0\)，也就是说所有直线的\(b_i=0\)，不过我们转过头去看会发现这种情况下\(y\)对\(f(x,y)\)完全没有影响，而且\(\alpha,\beta,\gamma\)的值分别就是\(A^2,2AC,C^2\)。所以这种情况其实并不会有影响

如果\(\alpha\neq 0\)，我们要最小化\(f(x,y)\)，同时还需要满足方程

\[\alpha x^2+\beta x+\gamma-f(x,y)=0
\]

有解

代入根的判别式，可知需要满足

\[\beta^2-4\alpha(\gamma-f(x,y))\geq 0
\]

\[f(x,y)\geq \gamma-{\beta^2\over 4\alpha}
\]

最小值显然了

如果\(\alpha=0\)，则

\[f(x,y)=\beta x+\gamma
\]

\(Claris\)说这种情况下答案就等于\(\gamma\)……然而我实在看不出为啥……我怎么感觉可以无限小呢……然而它要是变成负数显然不符合常理啊……有哪位鸽鸽知道为什么的么可以在下面留言哦qwq

然后就做完了

ps：关于\(\alpha\geq 0\)的证明

因为有

\[\alpha=A^2-{(AB)^2\over B^2}
\]

首先显然\(B^2\geq 0\)，如果\(B^2=0\)，那么根据上面所说\(\alpha=A^2\geq 0\)，所以假设\(B^2>0\)，我们需要证明

\[A^2-{(AB)^2\over B^2}\geq 0
\]

即

\[A^2B^2\geq (AB)^2
\]

代入原来的值

\[\left(\sum {a_i^2\over d_i}\right)\left(\sum {b_i^2\over d_i}\right)\geq \left(\sum {a_ib_i\over d_i}\right)^2
\]

这就是柯西不等式啊……显然成立

然后没有然后了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define inline __inline__ __attribute__((always_inline))
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
int read(char *s){
    R int len=0;R char ch;while(((ch=getc())>'9'||ch<'0'));
    for(s[++len]=ch;(ch=getc())>='0'&&ch<='9';s[++len]=ch);
    return s[len+1]='\0',len;
}
double readdb()
{
    R double x=0,y=0.1,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(x=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';x=x*10+ch-'0');
    for(ch=='.'&&(ch=getc());ch>='0'&&ch<='9';x+=(ch-'0')*y,y*=0.1,ch=getc());
    return x*f;
}
inline int getop(){R char ch;while((ch=getc())>'9'||ch<'0');return ch-'0';}
const int N=2e5+5;const double eps=1e-7;
inline int sgn(R double x){return x<-eps?-1:x>eps;}
struct node{
    double aa,bb,cc,ab,bc,ac;int sz;
    inline void ins(R double a,R double b,R double c,R double d){
        ++sz,aa+=a*a*d,bb+=b*b*d,cc+=c*c*d,ab+=a*b*d,ac+=a*c*d,bc+=b*c*d;
    }
    inline void del(R double a,R double b,R double c,R double d){
        --sz,aa-=a*a*d,bb-=b*b*d,cc-=c*c*d,ab-=a*b*d,ac-=a*c*d,bc-=b*c*d;
    }
    double calc(){
        if(!sz)return 0;
        double invb=sgn(bb)?1.0/bb:0;
        double a=aa-ab*ab*invb,b=2*ac-2*ab*bc*invb,c=cc-bc*bc*invb;
        return !sgn(a)?c:c-b*b*0.25/a;
    }
}q;
struct Line{
    double a,b,c,d;
    inline Line(){}
    inline Line(R double x,R double y,R double xx,R double yy){
        !sgn(x-xx)?(a=1,b=0,c=-x):(a=(yy-y)/(xx-x),b=-1,c=y-a*x);
        d=1.0/(a*a+b*b);
    }
}L[N];
int top,op,i;double x,y,xx,yy,res;
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
//  freopen("testdata.out","w",stdout);
    for(int T=read();T;--T){
        op=getop();
        switch(op){
            case 0:{
                x=readdb(),y=readdb(),xx=readdb(),yy=readdb();
                L[++top]=Line(x,y,xx,yy),q.ins(L[top].a,L[top].b,L[top].c,L[top].d);
                break;
            }
            case 1:{
                i=read(),q.del(L[i].a,L[i].b,L[i].c,L[i].d);
                break;
            }
            case 2:{
                res=q.calc();
                if(res<1e-3&&res>-1e-3)res=0;
                printf("%.2lf\n",res);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}