【最小割/二分图最大独立集】【网络流24题】【P2774】 方格取数问题
Description
给定一个 \(n~\times~m\) 的矩阵,每个位置有一个正整数,选择一些互不相邻的数,最大化权值和
Limitation
\(1~\leq~n,~m~\leq~100\)
Solution
由于数必须互不相邻,考虑二分图。
将矩阵染成二分图,相邻的格子连边,这样一条边的两个端点不能被同时选择,问题就被转化为了二分图上的最大带权独立集问题。
有关二分图的几个定理:
二分图最小无权点覆盖 = 二分图最大匹配
二分图最小无权边覆盖 = 总点数 - 二分图最大匹配
二分图最大无权独立集 = 总点数 - 二分图最大匹配
如果点带点 正 权,则源点向左部连边,容量为点权,右部向汇点连边,容量为点权,原边保留,容量无穷。
二分图最小权点覆盖 = 最小割
二分图最大权独立集 = 点权和 - 最小割
最小点权覆盖的证明与最大权闭合子图的证明类似,证明在这里,最大权独立集的证明需要 最大独立集 = 全集 - 最小点覆盖 的引理。
于是这题跑一个最小割就可以解决了。
Code
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define freopen(a, b, c)
#endif
typedef long long int ll;
namespace IPT {
const int L = 1000000;
char buf[L], *front=buf, *end=buf;
char GetChar() {
if (front == end) {
end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
if (front == end) return -1;
}
return *(front++);
}
}
template <typename T>
inline void qr(T &x) {
char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();
while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
if (lst == '-') x = -x;
}
namespace OPT {
char buf[120];
}
template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {
if (x < 0) {x = -x, putchar('-');}
int top=0;
do {OPT::buf[++top] = static_cast<char>(x % 10 + '0');} while (x /= 10);
while (top) putchar(OPT::buf[top--]);
if (pt) putchar(aft);
}
const int maxn = 10010;
const int maxm = 105;
const int INF = 100000000;
struct Edge {
int u, v, flow;
Edge *nxt, *bk;
Edge(const int _u, const int _v, const int _flow, Edge* &h) {
this->u = _u; this->v = _v; this->flow = _flow; this->nxt = h; h = this;
}
};
Edge *hd[maxn], *fir[maxn];
inline void cont(const int _u, const int _v, const int _flow) {
auto u = new Edge(_u, _v, _flow, hd[_u]), v = new Edge(_v, _u, 0, hd[_v]);
(u->bk = v)->bk = u;
}
int n, m, s, t, ans;
int MU[maxn], id[maxm][maxm], col[maxm][maxm], dist[maxn];
std::queue<int>Q;
bool bfs();
int dfs(const int u, int canag);
void link(const int x, const int y);
int main() {
freopen("1.in", "r", stdin);
qr(n); qr(m);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j) {
qr(MU[id[i][j] = ++t]);
ans += MU[t];
}
s = ++t; ++t;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if ((col[i][1] = col[i - 1][1] ^ 1))
link(i, 1);
else
cont(id[i][1], t, MU[id[i][1]]);
for (int j = 2; j <= m; ++j)
if ((col[i][j] = col[i][j - 1] ^ 1))
link(i, j);
else
cont(id[i][j], t, MU[id[i][j]]);
}
while (bfs()) {
for (int i = 1; i <= t; ++i) fir[i] = hd[i];
ans -= dfs(s, INF);
}
qw(ans, '\n', true);
return 0;
}
bool bfs() {
memset(dist, 0, sizeof dist);
Q.push(s); dist[s] = 1;
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front(); Q.pop();
for (auto e = hd[u]; e; e = e->nxt) if (e->flow > 0) {
int v = e->v;
if (dist[v]) continue;
dist[v] = dist[u] + 1;
Q.push(v);
}
}
return dist[t];
}
int dfs(const int u, int canag) {
if ((u == t) || (!canag)) return canag;
int _f = 0;
for (auto &e = fir[u]; e; e = e->nxt) if (e->flow > 0) {
int v = e->v;
if (dist[v] != (dist[u] + 1)) continue;
int f = dfs(v, std::min(canag, e->flow));
e->flow -= f; e->bk->flow += f; _f += f;
if (!(canag -= f)) break;
}
return _f;
}
void link(const int x, const int y) {
int u = id[x][y];
cont(s, u, MU[u]);
if (x > 1) cont(u, id[x - 1][y], INF);
if (y < m) cont(u, id[x][y + 1], INF);
if (y > 1) cont(u, id[x][y - 1], INF);
if (x < n) cont(u, id[x + 1][y], INF);
}
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