CF17E Palisection——优秀的综合计数题
题意翻译
给定一个长度为n的小写字母串。问你有多少对相交的回文子 串(包含也算相交) 。 输入格式
第一行是字符串长度n(1<=n<=2*10^6),第二行字符串 输出格式
相交的回文子串个数%51123987
题解
首先,我们要知道一个串有多少个回文串。
1.manacher,
枚举回文中心可以计算出所有的回文串个数
(i+p[i]-1)-(i-p[i]+1)+1
然后我们怎么知道多少相交的回文串呢?
计数问题要转化成有分界点的问题,便于利用乘法加法原理等。——lyd
这个相交显然不好处理,也没有分界点。
所以采用容斥。
2.容斥,所有的回文串对数-不相交的对数
不相交的话,分界点一下就出来了。我们可以枚举分解点试试。
因为这样便于划分成区间处理。
而直接相交处理不容易。
3.枚举分界点统计
①
c[x][0]以x开始的回文串个数,c[x][1]以x为末尾的回文串个数
这两个可以区间加,差分处理。
具体来说,一个点为中心的所有回文串,会给(i-p[i]+1)~(i)位置开始的回文串多一个。c[x][1]同理。
这里的差分,不用树状数组....并不需要动态维护修改查询
直接数组差分即可。最后从左到右累加,一边统计c[x][0/1]
然后令,pre[x],为c[x][1]的前缀和
②
对于枚举的分界点i(2<=i<=n) ,ans-=pre[i-1]*c[i][0]
根据回文串开始和结束位置的唯一性,这样一定不重不漏。
相当于把每个字符串和前面不相交的字符串都统计了一遍。
代码:注意%=mod
- #include<bits/stdc++.h>
- #define ri register int
- #define il inline
- using namespace std;
- typedef long long ll;
- const int N=+;
- const int mod=;
- int n,m;
- int p[*N];
- char a[N],b[*N];
- il void manacher(){
- p[]=;
- int mx=,id=;
- for(ri i=;i<=m;i++){
- p[i]=min(p[*id-i],mx-i);
- if(p[i]<) p[i]=;
- int j=i-p[i],k=i+p[i];
- while(j>=&&k<=m&&b[j]==b[k]){
- p[i]++;
- j--;k++;
- }
- if(i+p[i]->mx){
- mx=i+p[i]-;
- id=i;
- }
- }
- }
- ll f[N],g[N];
- ll ans,tot,sum;
- ll c[N][],pre[N];
- il void add1(int x,ll c){
- f[x]+=c;
- }
- il void add2(int x,ll c){
- g[x]+=c;
- }
- signed main()
- {
- scanf("%d",&n);
- scanf("%s",a+);
- b[++m]='#';
- for(ri i=;i<=n;i++){
- b[++m]=a[i];
- b[++m]='#';
- }
- manacher();
- for(ri i=;i<=m;i++){
- if(i&) (tot+=p[i]/)%=mod;//%mod;//#
- else (tot+=p[i]/)%=mod;//%mod;//not
- }
- ans=(tot*(tot-)/)%mod;//%mod;
- for(ri i=;i<=n;i++){
- add1(i-p[i*]/+,(ll)),add1(i+,(ll)-);
- if(i!=n) add1(i-p[i*+]/+,(ll)),add1(i+,(ll)-);
- }
- for(ri i=;i<=n;i++){
- c[i][]=(c[i-][]+f[i])%mod;
- }
- for(ri i=;i<=n;i++){
- add2(i,(ll)),add2(i+(p[i*]/),(ll)-);
- if(i!=n) add2(i+,(ll)),add2(i+p[i*+]/+,(ll)-);
- }pre[]=;
- for(ri i=;i<=n;i++){
- c[i][]=(c[i-][]+g[i])%mod;
- pre[i]=(pre[i-]+c[i][])%mod;
- if(i>=){
- ll now=(pre[i-]*c[i][])%mod;
- ans=(ans+mod-now)%mod;
- }
- }
- printf("%lld",ans);
- return ;
- }
总结:
突破口:容斥。划分分界点统计。
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