浅谈压缩感知(二十五):压缩感知重构算法之分段正交匹配追踪(StOMP)
主要内容:
- StOMP的算法流程
- StOMP的MATLAB实现
- 一维信号的实验与结果
- 门限参数Ts、测量数M与重构成功概率关系的实验与结果
一、StOMP的算法流程
分段正交匹配追踪(Stagewise OMP)也是由OMP改进而来的一种贪心算法,与CoSaMP、SP算法类似,不同之处在于CoSaMP、SP算法在迭代过程中选择的是与信号内积最大的2K或K个原子,而StOMP是通过门限阈值来确定原子。此算法的输入参数中没有信号稀疏度K,因此相比于ROMP及CoSaMP有独到的优势(这句话存在疑问)。
StOMP的算法流程:
二、StOMP的MATLAB实现(CS_StOMP.m)
function [ theta ] = CS_StOMP( y,A,S,ts )
% CS_StOMP
% Detailed explanation goes here
% y = Phi * x
% x = Psi * theta
% y = Phi*Psi * theta
% 令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta
% S is the maximum number of StOMP iterations to perform
% ts is the threshold parameter
% 现在已知y和A,求theta
% Reference:Donoho D L,Tsaig Y,Drori I,Starck J L.Sparse solution of
% underdetermined linear equations by stagewise orthogonal matching
% pursuit[J].IEEE Transactions on Information Theory,,():—
if nargin <
ts = 2.5; %ts范围[,],默认值为2.
end
if nargin <
S = ; %S默认值为10
end
[y_rows,y_columns] = size(y);
if y_rows<y_columns
y = y'; %y should be a column vector
end
[M,N] = size(A); %传感矩阵A为M*N矩阵
theta = zeros(N,); %用来存储恢复的theta(列向量)
pos_num = []; %用来迭代过程中存储A被选择的列序号
res = y; %初始化残差(residual)为y
for ss=:S %最多迭代S次
product = A'*res; %传感矩阵A各列与残差的内积
sigma = norm(res)/sqrt(M); %参见参考文献第3页Remarks()
Js = find(abs(product)>ts*sigma); %选出大于阈值的列
Is = union(pos_num,Js); %pos_num与Js并集
if length(pos_num) == length(Is)
if ss==
theta_ls = ; %防止第1次就跳出导致theta_ls无定义
end
break; %如果没有新的列被选中则跳出循环
end
%At的行数要大于列数,此为最小二乘的基础(列线性无关)
if length(Is)<=M
pos_num = Is; %更新列序号集合
At = A(:,pos_num); %将A的这几列组成矩阵At
else %At的列数大于行数,列必为线性相关的,At'*At将不可逆
if ss==
theta_ls = ; %防止第1次就跳出导致theta_ls无定义
end
break; %跳出for循环
end
%y=At*theta,以下求theta的最小二乘解(Least Square)
theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y; %最小二乘解
%At*theta_ls是y在At列空间上的正交投影
res = y - At*theta_ls; %更新残差
if norm(res)<1e- %Repeat the steps until r=
break; %跳出for循环
end
end
theta(pos_num)=theta_ls; %恢复出的theta
end
三、一维信号的实验与结果
%压缩感知重构算法测试
clear all;close all;clc;
M = ; %观测值个数
N = ; %信号x的长度
K = ; %信号x的稀疏度
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,);
x(Index_K(:K)) = *randn(K,); %x为K稀疏的,且位置是随机的
Psi = eye(N); %x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
Phi = randn(M,N)/sqrt(M); %测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi; %传感矩阵
y = Phi * x; %得到观测向量y %% 恢复重构信号x
tic
theta = CS_StOMP(y,A);
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
toc %% 绘图
figure;
plot(x_r,'k.-'); %绘出x的恢复信号
hold on;
plot(x,'r'); %绘出原信号x
hold off;
legend('Recovery','Original')
fprintf('\n恢复残差:');
norm(x_r-x) %恢复残差
四、门限参数ts、测量数M与重构成功概率关系的实验与结果
clear all;close all;clc; %% 参数配置初始化
CNT = ;%对于每组(K,M,N),重复迭代次数
N = ;%信号x的长度
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
ts_set = :0.2:;
K_set = [,,,,];%信号x的稀疏度集合
Percentage = zeros(N,length(K_set),length(ts_set));%存储恢复成功概率 %% 主循环,遍历每组(ts,K,M,N)
tic
for tt = :length(ts_set)
ts = ts_set(tt);
for kk = :length(K_set)
K = K_set(kk);%本次稀疏度
%M没必要全部遍历,每隔5测试一个就可以了
M_set=*K::N;
PercentageK = zeros(,length(M_set));%存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率
for mm = :length(M_set)
M = M_set(mm);%本次观测值个数
fprintf('ts=%f,K=%d,M=%d\n',ts,K,M);
P = ;
for cnt = :CNT %每个观测值个数均运行CNT次
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,);
x(Index_K(:K)) = *randn(K,);%x为K稀疏的,且位置是随机的
Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi;%传感矩阵
y = Phi * x;%得到观测向量y
theta = CS_StOMP(y,A,,ts);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P = P + ;
end
end
PercentageK(mm) = P/CNT*;%计算恢复概率
end
Percentage(:length(M_set),kk,tt) = PercentageK;
end
end
toc
save StOMPMtoPercentage1000 %运行一次不容易,把变量全部存储下来 %% 绘图
for tt = :length(ts_set)
S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
figure;
for kk = :length(K_set)
K = K_set(kk);
M_set=*K::N;
L_Mset = length(M_set);
plot(M_set,Percentage(:L_Mset,kk,tt),S(kk,:));%绘出x的恢复信号
hold on;
end
hold off;
xlim([ ]);
legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36');
xlabel('Number of measurements(M)');
ylabel('Percentage recovered');
title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,ts=',...
num2str(ts_set(tt)),')(Gaussian)']);
end
for kk = :length(K_set)
K = K_set(kk);
M_set=*K::N;
L_Mset = length(M_set);
S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*';'-k+'];
figure;
for tt = :length(ts_set)
plot(M_set,Percentage(:L_Mset,kk,tt),S(tt,:));%绘出x的恢复信号
hold on;
end
hold off;
xlim([ ]);
legend('ts=2.0','ts=2.2','ts=2.4','ts=2.6','ts=2.8','ts=3.0');
xlabel('Number of measurements(M)');
ylabel('Percentage recovered');
title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,K=',...
num2str(K),')(Gaussian)']);
end
1、门限参数ts分别为2.0,2.2,2.4,2.6,2.8,3.0时,不同稀疏信号下,测量值M与重构成功概率的关系:
2、稀疏度为4,12,20,28,36时,不同门限参数ts下,测量值M与重构成功概率的关系:
结论:
通过对比可以看出,总体上讲ts=2.4或ts=2.6时效果较好,较大和较小重构效果都会降低,这里由于没有ts=2.5的情况,但我们推测ts=2.5应该是一个比较好的值,因此一般默认取为2.5即可。
六、参考文章
http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45441601
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