Kick Start 2019 Round A Contention
$\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}$
[题目链接](https://codingcompetitions.withgoogle.com/kickstart/round/0000000000050e01/0000000000069881)
题目大意
一排 $N$ 个座位,从左到右编号 $1$ 到 $N$ 。
有 $Q$ 个预定座位的请求,第 $i$ 个请求想要预定编号从 $L_i$ 到 $R_i$ 的所有座位。
可以按任意顺序处理这 $Q$ 个请求,处理一个请求时,把对应区间中尚未被分配的座位分配给这个请求。
试问每个请求最终订到的座位数量的最小值最大可能是多少?
Limits
- Time limit: 30 seconds per test set.
- Memory limit: 1GB.
- Number of test cases $T = 100$.
- $1 \le N \le 10^6$.
- $1 \le L_i \le R_i \le N $.
- $1 \le Q \le 30000 $.
- For at least 85 of the test cases, $Q \le 3000$.
分析
Observation 1: 第 $i$ 个被处理的请求所获得的座位数量与处理前 $i - 1$ 个请求的顺序无关。
Observation 2:
设 $A, B$ 是相邻的两个请求。假设若先处理 $A$,则 $A$ 得到 $a$ 个座位;若先处理 $B$,则 $B$ 得到 $b$ 个座位;又设 $A, B$ 两请求共得到 $c$ 个座位,显然 $c$ 跟 $A, B$ 被处理的先后顺序无关,且有 $a + b \ge c$ 。不妨设 $a > b$ 。若先 $A$ 后 $B$ 则两个请求得到的座位数的最小值为 $\min(a, c - a) = c - a$;若先 $B$ 后 $A$,则最小值为 $\min(b, c - b)$ 。注意到 $b \ge c - a$ 且 $ c - b > c - a $,故有 $\min(b, c - b) \ge \min(a, c - a)$;换言之,对于相邻的两个请求,应当先处理分到座位较少的那个请求。
注意:满足上述条件的处理顺序也许不唯一,因为 $a, b$ 的大小关系依赖于之前处理的那些请求。
到这里我就想不通了。
官方题解
We can observe that for a chosen ordering of the requests, the number of seats that the system books in the last request does not depend on the ordering of the previous $Q - 1$ requests. So, we could start by finding the request to be processed last and move backwards towards the earlier requests.
这一段我能理解,但问题在于 how can you determine which request should be processed last in an optimal solution?
我想通了。
考虑若干个请求的任意排列,按此排列进行操作,把每个请求获得的座位数的最小值简称为此「排列的最小值」。
Key observation:
从任意 $k$($k > 1$)个请求的任意排列中拿走一个请求,余下的 $k - 1$ 请求的排列的最小值一定不小于原先 $k$ 个请求的排列的最小值。
定义函数 $f(x)$ 表示最后(即第 $Q$ 个)处理请求 $x$,$x$ 能得到多少个座位。将 $f(x)$ 的最大值记作 $m$ 。
对于 $Q$ 个请求的任一排列 $P := p_1, p_2, \dots, p_Q$,设其最小值为 $a$ 。
假设 $f(p_Q) < m$,我们有 $a \le f(p_Q) < m$,又设 $f(p_i) = m$;
考虑排列 $P' := p_1, p_2, \dots, p_{i -1}, p_{i + 1}, p_{i + 2}, \dots, p_{Q}$ ,设其最小值为 $b$ 。
对比 $P$ 和 $P'$ 这两个排列;显然,$p_1, p_2 \dots, p_{i - 1}$ 这些请求获得的座位数不变;在 $P'$ 中,由于少了 $p_{i}$ 的竞争,$p_{i + 1}, p_{i + 2}, \dots, p_{Q}$ 这些请求获得的座位数不会减少;于是有 $ b \ge a $ 。
考虑排列 $P'' := p_1, p_2, \dots, p_{i -1}, p_{i + 1}, \dots, p_{Q}, p_i$,设其最小值为 $c$,易见 $ c = \min(b, m)$ 。
由于 $b \ge a$ 且 $ m > a$ 故有 $c \ge a$ 。所以把 $\argmax_x f(x)$ 放最后能导致最优解。
官方题解的做法是根据上述贪心策略,用数据结构辅助求解 $\argmax_x f(x)$;这里不详述,只给出代码。
接下来给出另一种做法:二分答案。
Another approach:二分答案
这种做法来自 Mahmoudian 的 submission,其思路比官方解法更为简单,巧妙而富有启发性。
此做法的最坏时间复杂度是 $O(Q^2\log N)$;不过由于常数小并且在随机数据上复杂度离此上界甚远,实际上相当快,明显快于官方题解中给出的基于线段树的算法。
我对其代码做了少许修改并加了注释
const int Q = 30000;
int n, q, xl[Q], xr[Q], mvl[Q]; // mvl意思是move l to a new index
pair<int, int> sr[Q]; // sr 代表 sort
int check(int k) {
for (int j = 0; j < q; ++j)
mvl[j] = xl[j];
for (int j = 0; j < q; ++j) {
int r = xr[j];
int st = mvl[j]; // st即start,表示当前能分配给j的那一段的左端点
int allowed_after = r;
int cnt = 0;
// 判断能否在[l,r]中分配k个座位给j
for (int i = j + 1; i < q; ++i) {
// 遍历被j包含的那些区间
if (xl[i] >= r) break;
if (xr[i] <= r) {
// 被j包含的区间一定要在j之前处理,不然这些区间一个座位也得不到
// 换言之,j得不到它所包含的那些区间内的座位
if (xl[i] <= st) {
st = max(st, xr[i]);
} else {
cnt += xl[i] - st;
st = max(st, xr[i]);
if (cnt >= k) {
// j 已经获得k个座位。
// allowed_after 之后的那些座位,留给别的区间。
allowed_after = xl[i] - (cnt - k);
break;
}
}
}
}
if (cnt < k) {
cnt += r - st;
if (cnt < k) return 0;
allowed_after = r - (cnt - k);
}
//排序在j之后,与j有交集但没被j包含的那些区间,
//如果左端点在allowed_after之前,那么这个区间要放在j之后处理,
//否则j获得座位就达不到k个。
for (int i = j + 1; i < q; ++i) {
if (xl[i] >= allowed_after) break;
if (xr[i] > r) {
//这一句的效果就相当于把i放在j之后处理
mvl[i] = max(mvl[i], r);
}
}
}
return 1;
}
int main() {
int tc;
cin >> tc;
for (int tt = 1; tt <= tc; ++tt) {
cin >> n >> q;
for (int j = 0; j < q; ++j) {
// 区间采用左闭右开表示,座位改成从0开始编号
cin >> xl[j] >> xr[j], --xl[j];
sr[j] = {xl[j], -xr[j]};
}
//区间按左端点从小到大排序;左端点相同的,按右端点从大到小排序;
//效果是若区间A包含区间B,则B排在A后面
sort(sr, sr + q);
for (int j = 0; j < q; ++j)
xl[j] = sr[j].first, xr[j] = -sr[j].second;
int bl = 0, br = n;
for (int j = 0; j < q; ++j)
br = min(br, xr[j] - xl[j]);
++br;
while (bl < br - 1) {
int bm = (bl + br) / 2;
if (check(bm)) {
bl = bm;
} else {
br = bm;
}
}
cout << "Case #" << tt << ": " << bl << '\n';
}
}
References
https://blog.csdn.net/Dylan_Frank/article/details/88985444
https://blog.csdn.net/lfhase/article/details/88823761
Kick Start 2019 Round A Contention的更多相关文章
- kick start 2019 round D T3题解
---恢复内容开始--- 题目大意:共有N个房子,每个房子都有各自的坐标X[i],占据每个房子需要一定花费C[i].现在需要选择K个房子作为仓库,1个房子作为商店(与题目不同,概念一样),由于仓库到房 ...
- kick start 2019 round D T2题解
题目大意:由N个房子围成一个环,G个人分别顺时针/逆时针在房子上走,一共走M分钟,每分钟结束,每个人顺/逆时针走到相邻的房子.对于每个房子都会记录最后时刻到达的人(可能是一群人).最终输出每个人会被几 ...
- Kick Start 2019 Round H. Elevanagram
设共有 $N = \sum_{i=1}^{9} A_i$ 个数字.先把 $N$ 个数字任意分成两组 $A$ 和 $B$,$A$ 中有 $N_A = \floor{N/2}$ 个数字,$B$ 中有 $N ...
- Kick Start 2019 Round A Parcels
题目大意 $R \times C$ 的网格,格子间的距离取曼哈顿距离.有些格子是邮局.现在可以把至多一个不是邮局的格子变成邮局,问每个格子到最近的邮局的曼哈顿距离的最大值最小是多少. 数据范围 $ 1 ...
- Kick Start 2019 Round B Energy Stones
对我很有启发的一道题. 这道题的解法中最有思维难度的 observation 是 For simplicity, we will assume that we never eat a stone wi ...
- 【DP 好题】Kick Start 2019 Round C Catch Some
题目链接 题目大意 在一条数轴上住着 $N$ 条狗和一个动物研究者 Bundle.Bundle 的坐标是 0,狗的坐标都是正整数,可能有多条狗住在同一个位置.每条狗都有一个颜色.Bundle 需要观测 ...
- Kick Start 2019 Round F Teach Me
题目链接 题目大意 有 $N$ 个人,$S$ 项技能,这些技能用 $1, 2, 3, \dots, S$ 表示 .第 $i$ 个人会 $c_i$ 项技能($ 1 \le c_i \le 5 $).对于 ...
- Kick Start 2019 Round D
X or What? 符号约定: $\xor$ 表示异或. popcount($x$) 表示非负整数 $x$ 的二进制表示里数字 1 出现的次数.例如,$13 = 1101_2$,则 popcount ...
- Google Kick Start 2019 C轮 第一题 Wiggle Walk 题解
Google Kick Start 2019 C轮 第一题 Wiggle Walk 题解 题目地址:https://codingcompetitions.withgoogle.com/kickstar ...
随机推荐
- 灰度图像--图像分割 Sobel算子,Prewitt算子和Scharr算子平滑能力比较
学习DIP第47天 转载请标明本文出处:http://blog.csdn.net/tonyshengtan ,出于尊重文章作者的劳动,转载请标明出处!文章代码已托管,欢迎共同开发: https://g ...
- (Java多线程系列二)线程间同步
Java多线程间同步 1.什么是线程安全 通过一个案例了解线程安全 案例:需求现在有100张火车票,有两个窗口同时抢火车票,请使用多线程模拟抢票效果. 先来看一个线程不安全的例子 class Sell ...
- 学习日记6、easyui datagrid 新增一行,编辑行,结束编辑和删除行操作记录
1.新增一行并进入编辑状态 var index=$('#Numbers').datagrid('appendRow', { CardInformation: '开户行', CardNumber: '银 ...
- centos调整屏幕亮度
笔记本安装centos6.5后亮度无法通过键盘快捷键调节,可以通过安装软件来调节. 安装:yum install xgamma 设置亮度:xgamma -gamma n( 0.1 < n < ...
- navicat for mysql安装
搜索一款navicat for mysql然后进行下载. 步骤阅读 2 当我们下载完成之后首先进行数据包的解压,同时可以运行navicat for mysql程序. 破解工具下载:https://pa ...
- C++入门经典-例7.5-对象的指针,函数指针调用类成员
1:指向相应对象的指针就是对象的指针,它的生明方法与其他类型一样,如下: 类名 *p; 类的指针可以调用它所指向对象的成员.形式如下: p->类成员; 2:代码如下: (1)cat.h #inc ...
- (转载)深入理解Java:内省(Introspector)
本文转载自:https://www.cnblogs.com/peida/archive/2013/06/03/3090842.html 一些概念: 内省(Introspector) 是Java 语言对 ...
- 安装ubuntu是所需的引导
title Install Ubuntu root (hd0,0) kernel (hd0,0)/vmlinuz boot=casper iso-scan/filename=/ubuntu-16.04 ...
- VisualVM通过密码JMX远程连接JVM
如果本地安装了JDK,则在${java.home}/bin/下可找到jvisualvm.exe,双击打开即可使用.否则,去官网下载一个,解压即可使用.现有一个springboot程序springboo ...
- T89379 【qbxt】复读警告
T89379 [qbxt]复读警告 题解 这是一道DP题 设置状态 f[ i ][ j ] 前 i 个数中所选数字之和 % key 得 j 的最大方案数 当前我们该选择第 i 个数字了,那么这个数 ...