[NOI2005]月下柠檬树
题意
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Problem 1502. -- [NOI2005]月下柠檬树
1502: [NOI2005]月下柠檬树
Time Limit: 5 Sec Memory Limit: 64 MB
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输出1个实数,表示树影的面积。四舍五入保留两位小数。
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10.0 10.00 10.00
4.00 5.00
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分析
参照GFY的题解。
首先,做这题需要知道一点:一个圆从任意一个角度投影都永远是一个圆。
我们可以画出一个简图如下:
如图,这棵树倒影之后,有图中两个圆心p1,p2,他们的横坐标即为这颗树上他们原先的高度乘以cotΘ,而他们的半价却不会变化,因为月光是平行光,所以在圆面与地面平行时,两点间距离不会变化。
如图,倒影最终是圆和他们之间的公切线构成的图形,最右边的点可以看做是半径为eps的圆。之后,可以利用simpson积分公式计算,simpson(l,r)=(f(l)+f(r)+4f(mid))(r-l)/6,若是精度差距大可以继续递归,注意:本题的eps要1e-6以下才能过。
时间复杂度?不知道
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
typedef long long ll;
co double eps=1e-6;
co int N=501;
struct Point{
double x,y;
}s[N],e[N],a[N],b[N];
int n;
il double sqr(double x) {return x*x;}
void cal(Point&s,Point&e,Point a,Point b){
if(fabs(a.y-b.y)<eps) return s=a,e=b,void();
double k=(b.y-a.y)/(b.x-a.x);
s.x=a.x-k*a.y,s.y=sqrt(sqr(a.y)-sqr(a.x-s.x));
e.x=b.x-k*b.y,e.y=sqrt(sqr(b.y)-sqr(b.x-e.x));
// s=(Point){a.x-k*a.y,sqrt(sqr(a.y)-sqr(a.x-s.x))};
// e=(Point){b.x-k*b.y,sqrt(sqr(b.y)-sqr(b.x-e.x))};
}
double f(double x){
double y=0;
for(int i=1;i<=n+1;++i)if(fabs(x-a[i].x)<=a[i].y)
y=std::max(y,sqrt(sqr(a[i].y)-sqr(x-a[i].x)));
for(int i=1;i<=n;++i)if(a[i+1].x-a[i].x-fabs(a[i].y-a[i+1].y)>eps&&s[i].x<=x&&x<=e[i].x)
y=std::max(y,s[i].y+(x-s[i].x)*(e[i].y-s[i].y)/(e[i].x-s[i].x));
return y;
}
double work(double L,double R){
double mid=(L+R)/2;
return (f(L)+f(R)+f(mid)*4)*(R-L)/6;
}
double simpson(double L,double R){
double mid=(L+R)/2;
double x1=work(L,mid),x2=work(mid,R),x3=work(L,R);
if(fabs(x1+x2-x3)<eps) return x1+x2;
else return simpson(L,mid)+simpson(mid,R);
}
int main(){
// freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
double theta;
scanf("%d%lf",&n,&theta);
theta=1/tan(theta);
double h=0;
for(int i=1;i<=n+1;++i){
scanf("%lf",&a[i].x);
h+=a[i].x,a[i].x=h*theta;
}
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&a[i].y);
a[n+1].y=a[n+2].y=0;
double L=a[1].x,R=a[n+1].x;
for(int i=1;i<=n;++i){
L=std::min(L,a[i].x-a[i].y),R=std::max(R,a[i].x+a[i].y);
if(a[i+1].x-a[i].x-fabs(a[i+1].y-a[i].y)>eps) // not in
cal(s[i],e[i],a[i],a[i+1]);
}
printf("%.2lf\n",2*simpson(L,R));
return 0;
}
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