三次样条插值 cubic spline interpolation

什么是三次样条插值

　　插值（interpolation）是在已知部分数据节点（knots）的情况下，求解经过这些已知点的曲线，

然后根据得到的曲线进行未知位置点函数值预测的方法（未知点在上述已知点自变量范围内）。

　　样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法，在技术制图中，使用软尺连接两个相邻数据点，

以达到连接曲线光滑的效果。

　　样条插值是一种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。数学上，曲线光滑需要在曲线上处处一阶导连续，

因此，在节点处需要满足一阶导数相等。另外，为了使得曲线的曲率最小，要求曲线二阶导连续^【1】，

在节点处需要二阶导相等。

　　三次及以上多项式可以满足节点处光滑和曲率最小要求，但是次数高的曲线容易震荡，因此，就选用三次多项式即可。

数学表述

　　假设有n个已知节点：

　　　　 $(x_i, y_i)$ 　　 $i=0, 1, ..., n-1$

　　函数关系记为： $y=f(x)$ 。

　　在区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 中插值多项式曲线：

　　　　 $f_i(x)$ 　　 $i=0, 1,..., n-2$

注意，这里头曲线为 $f_{0}$ ，尾曲线为 $f_{n-2}$ 。

　　插值在节点处满足条件：

　　（1）曲线经过节点：

　　　　 $\left\{\begin{matrix} f_i(x_{i}) = y_{i}\\ f_i(x_{i+1}) = y_{i+1} \end{matrix}\right.$

　　（2）曲线一阶导连续（光滑）：

　　　　 $f_{i}^{'}(x_{i+1}) = f_{i+1}^{'}(x_{i+1})$

　　（3）曲线二阶导连续（曲率最小）：

　　　　 $f_{i}^{''}(x_{i+1}) = f_{i+1}^{''}(x_{i+1})$

　　边界条件：对两端节点的约束。

　　（B1）自然(natural (or free))边界条件

　　　　 $f_{0}^{''}(x_{0}) = f_{n-2}^{''}(x_{n-1}) = 0$

　　（B2）固定(clamped)边界条件

　　　　固定一阶导数：

　　　　 $f_{0}^{'}(x_{0}) = leftValue$ , $f_{n-2}^{'}(x_{n-1}) = rightValue$

　　　　固定二阶导数：

　　　　 $f_{0}^{''}(x_{0}) = leftValue$ , $f_{n-2}^{''}(x_{n-1}) = rightValue$

　　（B3）非节点边界(not-a-knot )

　　　　要求在第二个节点 $x_{1}$ 和倒数第二个节点 $x_{n-2}$ ，曲线的三阶导也连续：

　　　　 $f_{0}^{'''}(x_{1})=f_{1}^{'''}(x_{1})$

　　　　 $f_{n-3}^{'''}(x_{n-2})=f_{n-2}^{'''}(x_{n-2})$

三次多样式函数的计算

　　样条函数采用n-1个三次多项式，每个三次多项式有4个参数，一共是4n-4个参数，

因此需要4n-4个方程。

　　　　条件（1）n-1个曲线每个两端经过节点，提供2（n-1）=2n-2个方程；

　　　　条件（2）n-1个曲线相邻一阶导连续，提供n-2个方程；

　　　　条件（3）n-1个曲线相邻二阶导连续，提供n-2个方程；

　　以上一共是4n-6个方程，还需要2个方程，这两个方程由边界条件提供，条件（B1）, （B2）, （B3）

每个均提供2个方程，这样就凑够了4n-4个方程。

计算的例子

　　n个节点，n-1条曲线。在区间 $[x_{i},x_{i+1}]$ 内，令第i条曲线为：

　　　　 $f_{i}(x)=y_{i}+a_{i}(x-x_{i})+b_{i}(x-x_{i})^{2}+c_{i}(x-x_{i})^{3}$

　　一二三阶导分别为：

　　　　一阶： $f_{i}^{'}(x)=a_{i}+2b_{i}(x-x_{i})+3c_{i}(x-x_{i})^{2}$

　　　　二阶： $f_{i}^{''}(x)=2b_{i}+6c_{i}(x-x_{i})$

　　　　三阶： $f_{i}^{'''}(x)=6c_{i}$

　　接下来，套用节点条件和边界条件：

　　先假设相邻节点横纵坐标的差值分别为: $h_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ ， $q_{i}=y_{i+1}-y_{i}$ 。

　　　　条件（1）：曲线 $f_{i}(x)$ 已经满足第一个式子： $f_{i}(x_{i})=y_{i}$ ；

　　　　第二式 $f_{i}(x_{i+1})=y_{i+1}$ ：

　　　　　　(I)　　 $y_{i}+a_{i}h_{i}+b_{i}h_{i}^{2}+c_{i}h_{i}^{3}=y_{i+1}$ 　　 $i=0,1,...,n-2$

　　　　条件（2）：

　　　　　　(II)　　 $a_{i}+2b_{i}h_{i}+3c_{i}h_{i}^{2}=a_{i+1}$ 　　　　 $i=0,1,...,n-3$

　　　　条件（3）：

　　　　　　(III)　　 $2b_{i}+6c_{i}h_{i}=2b_{i+1}$ 　　　　　　 $i=0,1,...,n-3$

　　　　边界条件以非节点（Not-A_Knot）条件为例，得：

　　　　　　(IV)　　 $c_{0}=c_{1}$ , $c_{n-3}=c_{n-2}$

　　联立方程(I)和(II)，分别消去 $b_{i}$ 和 $c_{i}$ 得：

　　　　 $c_{i}=\frac{a_{i}+a_{i+1}}{h_{i}^{2}}-\frac{2q_{i}}{h_{i}^{3}}$ , 　　 $b_{i}=-\frac{2a_{i}+a_{i+1}}{h_{i}}+\frac{3q_{i}}{h_{i}^{2}}$ 　　 $i=0, 1, ..., n-4$

　　带入方程(III)得：

　　　　(V)　　 $h_{i+1}a_{i}+2(h_{i}+h_{i+1})a_{i+1}+h_{i}a_{i+2}=3(h_{i+1}q_{i}/h_{i}+h_{i}q_{i+1}/h_{i+1})$ 　　 $i=0,1,...,n-3$

　　这里i的最大值应该取不到n-3，当i=n-3时，上式左边将出现 $a_{n-1}$ ，而参数a的范围是从0到n-2，

所以不存在 $a_{n-1}$ 这项，此式一共是n-2个方程。

　　　　另外，方程(II)和(III)都不支持 $i=n-2$ ，需要单独计算 $c_{n-2}, b_{n-2}$ ：

　　　　由方程(I)，(III)分别有：

　　　　　　 $a_{n-2}h_{n-2}+b_{n-2}h_{n-2}^{2}+c_{n-2}h_{n-2}^{3}=q_{n-2}$

　　　　　　 $b_{n-3}+3c_{n-3}h_{n-3}=b_{n-2}$

　　　　　　 $b_{n-2}=\frac{2a_{n-2}+a_{n-3}}{h_{n-3}}-\frac{3q_{n-3}}{h_{n-3}^{2}}$

　　　　　　 $c_{n-2}=-\frac{2h_{n-2}+h_{n-3}}{h_{n-2}^{2}h_{n-3}}a_{n-2}-\frac{a_{n-3}}{h_{n-2}h_{n-3}}+\frac{3q_{n-3}}{h_{n-2}h_{n-3}^{2}}+\frac{q_{n-2}}{h_{n-2}^{3}}$

　　由边界条件方程(IV)中的 $c_{0}=c_{1}$ 得：

　　　　 $h_{1}^{2}a_{0}+(h_{1}^{2}-h_{0}^{2})a_{1}-h_{0}^{2}a_{2}=2(h_{1}^{2}q_{0}/h_{0}+h_{0}^{2}q_{1}/h_{1})$

　　方程（V）取i=0有：

　　　　 $h_{1}a_{0}+2(h_{0}+h_{1})a_{1}+h_{0}a_{2}=3(h_{1}q_{0}/h_{0}+h_{0}q_{1}/h_{1})$

　　与上式联立消去 $a_{2}$ ，得：

　　　　(VI)　　 $h_{1}(h_{0}+h_{1})a_{0}+(h_{0}+h_{1})^{2}a_{1}=h_{1}(3h_{0}+2h_{1})q_{0}/h_{0}+h_{0}^{2}q_{1}/h_{1}$

　　另由 $c_{n-3}=c_{n-2}$ 得：

　　　　(VII)　　 $h_{n-2}(h_{n-3}+h_{n-2})a_{n-3}+(h_{n-3}+h_{n-2})^{2}a_{n-2}=$ $h_{n-2}(3h_{n-3}+2h_{n-2})q_{n-3}/h_{n-3}+h_{n-3}^{2}q_{n-2}/h_{n-2}$

　　方程(V), (VI), (VII)联立，n-1个方程，n-1个未知数（ $a_{0},...,a_{n-2}$ ），参数a得解，然后在算出参数b和c即可。

References:

[1] Wikipedia: spline interpolation